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Regularity of the Kelvin-Helmholtz problem for the 2d Euler equation. (Régularité du problème de Kelvin-Helmholtz pour l’équation d’Euler 2d.) (French) Zbl 1062.35503

Il s’agit d’un résultat remarquable, qui indique que le problème de Kelvin-Helmholtz est mal posé au sens de Hadamard dans la catégorie des noppes tourbillons. Plus exactement, soit \(\Sigma\subset (T_-,T_+)\times\mathbb{R}^2\) une hypersurface de \(\mathbb{R}^3\) de la forme \(\{t,(n,y)\in \Sigma_t\}\) où \(\Sigma_t\) est une courbe fermée simple de \(\mathbb{R}^2\). On suppose \(\Sigma\) de classe \(C^{1+\rho_0}\), \(\rho_0\in(0,1)\). Soit \(u\in L^\infty_{\text{loc}}((-T,T)\); \(L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2))\) une solution faible de l’équation d’Euler 2d vérifiant \[ \begin{cases} \text{rot}\,u = g(t,s)\delta_{\Sigma_t},\\ \lim_{| x|+| y|\to\infty} u(t,x,y)=0,\end{cases} \] où la densité \(g\) vérifie \[ \exists c_0\forall (t,s)\quad c_0\leq g(t,s)\leq 1|_{c_0} \] et \(\delta_{\Sigma_t}\) désigne la mesure d’intégration sur \(\Sigma_t\). Alors \(\Sigma\) et \(g\) sont analytiques. Le clou de la démonstration est la remarque qu’une certaine équation pseudo-différentielle non linéaire est elliptique.
Sur also the paper version in ESAIM Control Optim. Calc. Var. 8, 801–825 (2002; Zbl 1070.35504).

MSC:

35Q35 PDEs in connection with fluid mechanics
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
76B03 Existence, uniqueness, and regularity theory for incompressible inviscid fluids
49N60 Regularity of solutions in optimal control

Citations:

Zbl 1070.35504
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Full Text: Numdam EuDML