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Linear independence of continued fractions. (English) Zbl 1067.11039

Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist folgende hinreichende Bedingung für die lineare Unabhängigkeit regulärer Kettenbrüche: Für \(j\in \{1,...,K\}\) sei \((a_{j,n})_{n=1,2,...}\) eine Folge in \(\mathbb{N}\), so daß für alle genügend großen \(n\) die Ungleichungen \(a_{j+1,n}>a_{j,n}(1+\frac{\varepsilon}{n\log n})\) für \(j=1,...,K-1\) sowie \(a_{1,n+1}>a_{K,n}^{K-1}(1+\frac{1}{n})\) gelten; dabei ist die reelle Zahl \(\varepsilon>1\) fest vorgegeben. Dann sind \(1,\alpha_1,...,\alpha_K\) über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängig, wobei \(\alpha_j:=[a_{j,1},a_{j,2},...]\) für \(j=1,...,K\) gesetzt ist. Einige Anwendungsbeispiele werden gegeben; so sind z.B. 1 und die \(K\) Kettenbrüche \([j\cdot 2^K,...,j\cdot 2^{K^n},...] \enspace (j=1,...,K)\) linear unabhängig.

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J70 Continued fractions and generalizations
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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