New approaches to Kazhdan’s property (T). (Nouvelles approches de la propriété (T) de Kazhdan.) (French) Zbl 1068.22012

Valette, Alain

Bourbaki seminar. Volume 2002/2003. Exposes 909–923. Paris: Société Mathématique de France (ISBN 2-85629-156-2/pbk). Astérisque 294, 97-124, Exp. No. 913 (2004).

Dans ce texte l’auteur présente d’abord un résumé de l’article original de Kazhdan puis introduit la caractérisation cohomologique de la propriété (T) due à P. Delorme [Bull. Soc. Math. Fr. 105, 281–336 (1977; Zbl 0404.22006)], A. Guichardet [Bull. Sci. Math., II. Ser. 96, 305–332 (1972; Zbl 0243.57024)] et Y. Shalom [Invent. Math. 141, 1–54 (2000; Zbl 0978.22010)].
Rappelons la définition de la propriété (T). Un groupe localement compact a la propriété (T), ou est un groupe de Kazhdan, si toute représentation unitaire de \(G\), qui possède presque des vecteurs invariants, possède des vecteurs invariants non nuls. Les résultats récents mentionnés ensuite dans le texte sont des conséquences de la caractérisation cohomologique: actions par difféomorphismes du cercle, caractérisation de la propriété (T) par l’annulation de la 1-cohomologie réduite, lien avec les applications harmoniques et preuve de la propriété T pour \(\text{Sp}(n,1)\), la non-invariance de la propriété (T) par quasi-isométries et le caractère spectral pour la propriété (T).
For the entire collection see [Zbl 1052.00010].

Reviewer: Jean Ludwig (Metz)

MSC:

22D10	Unitary representations of locally compact groups
22E40	Discrete subgroups of Lie groups
22E41	Continuous cohomology of Lie groups
05C50	Graphs and linear algebra (matrices, eigenvalues, etc.)
53C43	Differential geometric aspects of harmonic maps

Keywords:

Property (T); reduced 1-cohomology; diffeomorphisms of the circle; harmonic mappings; spectral criterion

Citations:

Zbl 0404.22006; Zbl 0243.57024; Zbl 0978.22010