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Classical differential geometry. An introduction to Riemannian geometry. (Klassische Differentialgeometrie. Eine Einführung in die Riemannsche Geometrie.) (German) Zbl 1073.53006

EAGLE 16. EAGLE-Lecture. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz Leipzig (EAGLE) (ISBN 3-937219-16-1/pbk). 226 p. (2004).
Das vorliegende Buch stellt, wie der Titel andeutet, eine Theorie der klassischen Differentialgeometrie dar. Zugleich bietet es eine Einführung in die Riemannsche Geometrie. Es gliedert sich in 5 Kapitel. Im einleitenden Kapitel 0 werden die benötigten Hilfsmittel aus Geometrie und Analysis zusammengestellt. In Kapitel 1 werden Kurven untersucht. Neben der lokalen Kurventheorie des Euklidischen Raumes PC (Abschnitt 1.1) behandelt der Verfasser in Abschnitt 1.2 globale Fragen für ebene Kurven. Die Windungszahl, der Jordansche Kurvensatz, der Umlaufsatz für glatte Kurven, der Vierscheitelsatz und der allgemeine Umlaufsatz sind zentrale Themen dieses Abschnitts. Gegenstand des Kapitels 2 ist die lokale Flächentheorie des Raumes \(\mathbb{R}^3\). Nach der Definition der ersten und zweiten Fundamentalform folgen Abschnitte über die Krümmungen einer Fläche, die Asymptoten- und Krümmungslinien, die Ableitungsgleichungen, das Theorema egregium und den Fundamentalsatz der Flächentheorie. Es werden interessante Beispiele angegeben und einige spezielle Flächenklassen untersucht.
Kapitel 3 widmet sich der inneren Flächentheorie des Raumes \(\mathbb{R}^3\). Es beginnt mit der Definition der kovarianten Ableitung, der Christoffelsymbole und der Parallelverschiebung längs einer Flächenkurve (Abschnitt 3.1). Darüber hinaus werden u.a. die geodätischen Linien und die Exponentialabbildung untersucht und die Polarkoordinaten und die Gaußschen Parallelkoordinaten erklärt (Abschnitte 3.2 und 3.3). Das Kapitel schließt mit der Behandlung der wichtigen Begriffe der Jacobifelder und der konjugierten Punkte ab.
Besonderes Gewicht wird auch auf der globalen Flächentheorie gelegt. Die Titel der sieben Abschnitte des abschließenden Kapitels 4 geben einen Eindruck von der Stoffauswahl: 1. Globale Flächen und ihre Darstellungen. 2. Vollständigkeit und Schnittort. 3. Der Satz von Gauß-Bonnet. 4. Quotienten und Überlagerungen. 5. Eiflächen. 6. Polygonzüge. 7. Geschlossene Geodätische. Der Text wird ergänzt durch fünfzig hochinteressante Übungsaufgaben mit Anleitungen. Das Buch ist empfehlenswert und sollte in keiner mathematischen Bibliothek fehlen.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
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