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Birational transformations and values of the Riemann zeta-function. (English) Zbl 1074.11041
In seinem Beweis des Apéryschen Satzes über die Irrationalität von \(\zeta(3)\) (bzw. derjenigen von \(\zeta(2)=\pi^2/6\)) führte F. Beukers [Bull. Lond. Math. Soc. 11, 268–272 (1979; Zbl 0421.10023)] Dreifachintegrale (bzw. Doppelintegrale) über geeignete rationale Funktionen ein, die “gute” Folgen rationaler Approximationen an \(\zeta(3)\) (bzw. \(\zeta(2)\)) lieferten. Beukers’ Methode wurde in der Folgezeit von Dvornicich und Verf., von Hata sowie von Rhin und Verf. ausgebaut, was zu stets schärferen Schranken für die Irrationalitätsexponenten \(\mu(\dots)\) von \(\zeta(2)\) und \(\zeta(3)\) führte. Verf. gibt hier einen Überblick über seine neuesten, gemeinsam mit G. Rhin [Acta Arith. 77, 23–56 (1996; Zbl 0864.11037); ibid. 97, 269–293 (2001; Zbl 1004.11042)] erzielten Resultate \(\mu(\zeta(2))<5,441242...\) bzw. \(\mu(\zeta(3))<5,513890\dots\) . Diese Verschärfungen beruhen auf einer neuen algebraischen Methode, in der es um birationale Transformationen und Permutationsgruppen geht, die auf Doppel- bzw. Dreifachintegralen vom Beukersschen Typ operieren.
In den beiden letzten Abschnitten wird eine konstruktive Methode vorgestellt, mit der man die einschlägigen birationalen Transformationen für Dreifachintegrale aus den analogen Transformationen für Doppelintegrale gewinnen kann. Weiterhin wird eine Methode angegeben, die zu birationalen Transformationen führt, die auf Vierfachintegralen operieren, wie sie D. V. Vasil’ev [Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi 45, 36–40 (2001)] zur Gewinnung “kleiner” ganzzahliger Linearformen in \(1,\zeta(2),\zeta(4)\) betrachtet hat.

MSC:
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
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Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] Apéry, R., Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). Astérisque61 (1979), 11-13. · Zbl 0401.10049
[2] Beukers, F., A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc.11 (1979), 268-272. · Zbl 0421.10023
[3] Dvornicich, R., Viola, C., Some remarks on Beukers’ integrals, in: 51, Budapest (1987), 637-657. · Zbl 0755.11019
[4] Hata, M., Legendre type polynomials and irrationality measures. J. reine angew. Math.407 (1990), 99-125. · Zbl 0692.10034
[5] Hata, M., A note on Beukers’ integral. J. Austral. Math. Soc. (A) 58 (1995), 143-153. · Zbl 0830.11026
[6] Hata, M., A new irrationality measure for ζ(3). Acta Arith.92 (2000), 47-57. · Zbl 0955.11023
[7] Rhin, G., Viola, C., On the irrationality measure of ζ(2). Ann. Inst. Fourier43 (1993), 85-109. · Zbl 0776.11036
[8] Rhin, G., Viola, C., On a permutation group related to ζ(2). Acta Arith.77 (1996), 23-56. · Zbl 0864.11037
[9] Rhin, G., Viola, C., The group structure for ζ(3). Acta Arith.97 (2001), 269-293. · Zbl 1004.11042
[10] Vasilyev, D.V., Approximations of zero by linear forms in values of the Riemann zeta-function. Dokl. Belarus Acad. Sci. 45 no. 5 (2001), 36-40 (Russian). · Zbl 1178.11059
[11] Viola, C., On Siegel’s method in diophantine approximation to transcendental numbers. Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino53 (1995), 455-469. · Zbl 0873.11043
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