Interpolation of entire functions on regular sparse sets and \(q\)-Taylor series. (English) Zbl 1079.30032

Welter, Michael

J. Théor. Nombres Bordx. 17, No. 1, 397-404 (2005).

Bei \(a,q\in \mathbb{C}^\times, |q|\neq 1\) sei \(z_n:=(aq^n+a^{-1}q^{-n})/2, (a;q):=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)\) und \(\Phi_n(z;a):=\prod_{k=0}^{n-1}(1-2azq^k+a^2q^{2k})\) für alle \(n\in \mathbb{N}_0\); leere Produkte sind 1. Dann besitzt jede ganze Funktion \(f\) mit \(\limsup_{r\rightarrow \infty}(\log|f|_r)/(\log r)^2 < 1/(2|\log|q||)\) die in ganz \(\mathbb{C}\) gültige Darstellung \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty q^nf_n\Phi_n(z;a)\) mit \(f_n:=\sum_{k=0}^n (-1)^kq^{k(k-1)/2}(1-a^2q^{2k})f(z_k)/((q;q)_k(q;q)_{n-k}(a^2q^k;q)_{n+1})\) für alle \(n\in \mathbb{N}_0\). Dies wurde (allerdings nur für reelle \(a,q\in ]0,1[\)) von M. E. H. Ismail und D. Stanton [J. Approximation Theory 123, 125–146 (2003; Zbl 1035.30025)] unter Verwendung von Ergebnissen aus der Theorie der \(q\)-hypergeometrischen Funktionen bewiesen.
Das o.a. Resultat leitet Verf. nun aus einem allgemeineren Satz ab, für dessen Beweis er eine Interpolationsformel heranzieht. Um diesen Satz zu formulieren, nennt er eine unendliche, diskrete Teilmenge \(X\) von \(\mathbb{C}\) regulär dünn, wenn sie die im Referat seiner früheren Arbeit [J. Number Theory 109, 163–181 (2004; Zbl 1068.30020)] zitierte Eigenschaft \((\ast)\) hat. Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit lautet nun: Sei \(X\subset \mathbb{C}\) regulär dünn und \((x_n)_{n=0,1,\dots}\) die Folge der nach wachsenden Beträgen geordneten Elemente von \(X\), so besitzt jedes ganze \(f\) mit \(\limsup_{r\rightarrow \infty} (\log|f|_r)/(\psi(r)\log r)< \sup_{\theta>1}(\theta-\overline{\Lambda}(X))/(\theta T_X(\theta))\) die in ganz \(\mathbb{C}\) gültige Entwicklung \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty A_{X,n}\prod_{k=0}^{n-1} (z-x_k)\) mit \(A_{X,n}:=\sum_{k=0}^n f(x_k)/\prod_{j=0,j\neq k}^n (x_k-x_j)\). Dabei sind \(|f|_r, \psi_X(r)\) und \(\overline{\Lambda}(X)\) wie im Referat der o.a. Arbeit des Verf. und \(T_X(\theta):=\limsup_{r\rightarrow \infty} \psi_X(r^\theta)/\psi_X(r)\).
Verf. gibt schließlich neue Anwendungen seines Hauptsatzes auf ganze Funktionen, die auf regulär dünnen Teilmengen von \(\mathbb{Z}\) ganzwertig sind.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

30D15	Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
05A30	\(q\)-calculus and related topics
30E05	Moment problems and interpolation problems in the complex plane
33D15	Basic hypergeometric functions in one variable, \({}_r\phi_s\)
41A05	Interpolation in approximation theory

Citations:

Zbl 1035.30025; Zbl 1068.30020

References:

[1]	J.-P. Bézivin, Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières. Ann. Inst. Fourier 40 (1990), 785-809. · Zbl 0719.30022
[2]	J.-P. Bézivin, Fonctions entières prenant des valeurs entières ainsi que ses dérivées sur des suites recurrentes binaires. Manuscripta math. 70 (1991), 325-338. · Zbl 0733.30022
[3]	P. Bundschuh, Arithmetische Eigenschaften ganzer Funktionen mehrerer Variablen. J. reine angew. Math. 313 (1980), 116-132. · Zbl 0411.10009
[4]	M. E. H. Ismail, D. Stanton, \(q\)-Taylor theorems, polynomial expansions, and interpolation of entire functions. Journal of Approximation Theory 123 (2003), 125-146. · Zbl 1035.30025
[5]	S. Lang, Algebra. 3rd edition, Addison-Wesley (1993). · Zbl 0848.13001
[6]	M. Welter, Ensembles régulièrement lacunaires d’entiers et fonctions entières arithmétiques. J. Number Th. 109 (2004), 163-181. · Zbl 1068.30020