×

On the irrationality of factorial series. (English) Zbl 1088.11054

Irrationalitätsuntersuchungen über Reihen der Form \(S_f:=\sum_{n=1}^\infty f(n)/n!\) haben unter verschiedenen Wachstums-, Limes- oder Teilbarkeitsbedingungen an \(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\) eine lange Historie. Während P. Erdös und E. G. Straus [Pacific J. Math. 55, 85–92 (1973; Zbl 0279.10026)] erstmals Bedingungen über die Folge der ersten Differenzen \((f(n+1)-f(n))\) ins Spiel brachten, gingen R. Tijdeman und P. Z. Yuan [Indag. Math. (N.S.) 13, 407–418 (2002; Zbl 1018.11037)] einen Schritt weiter und zogen das Verhalten zweiter Differenzen heran. Diesen Weg setzen Verff. nun konsequent fort, indem sie Differenzen beliebiger Ordnung in die Betrachtung einbeziehen, wobei allerdings schärfere Regularitätsbedingungen an \(f\) zu fordern sind. So gelingt es Verff. etwa, die \(f\in\mathbb{Z}[x]\) zu charakterisieren, für die \(S_f\) rational ist. Weiter geben sie eine Methode an, die es allgemeiner erlaubt, die Irrationalität von \(\sum f(n)/\prod_{\nu=1}^n(a\nu+b)\) bei festen \(a,b\in\mathbb{N}\) zu zeigen, wobei \(f\) von der Form \(f(n)=(an+b)F(n)+ \text{O}(1)\) ist mit einer glatten Funktion \(F\) höchstens von polynomialem Wachstum. Beispielsweise sind \(T_\alpha:=\sum [n^\alpha]/n!, \, \sum [\log^\beta n]/n!, \, \sum [\exp(\log^\gamma n)]/n!\) für alle reellen \(\alpha\geq 0, \beta>0, \gamma\in ]0,1[\) irrational. Im letzten Abschnitt werden Fragen linearer Unabhängigkeit derartiger Reihen behandelt; z.B. sind \(1, e\) und alle \(T_\alpha\) mit \(\alpha\in \mathbb{R}_+ \setminus\mathbb{N}\) über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängig.

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI