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Car-Pólya and Gel’fond’s theorems for \({\mathbb F}_q [T]\). (English) Zbl 1088.11087

L’auteur prouve l’analogue en caractéristique \(p\) première du théorème de Pólya sur les fonctions entières prenant des valeurs entières aux points entiers: Soient \(\mathbb F_q\) un corps fini et \(k = \mathbb F_q[T]\). Soit \(\Omega\) le complété de la clôture algébrique du complété \(\mathbb F_q((1/T ))\) de \(k\) pour la valuation \(1/T\)-adique \(v\) normalisée par \(v(T) =-1\). Pour \(z\in\Omega\) on note deg\((z) =-v(z)\). Si \(f\) est une fonction entière sur \(\Omega\), pour \(r > 0\), on note \(M(f, r) = \sup\{\deg f(z); z\in\Omega,\deg z\leq r\}\). On a alors le
Théorème: Soit \(f\) une fonction entière sur \(\Omega\) telle que \(f(\mathbb F_q[T])\subset\mathbb F_q[T]\) et \(\displaystyle\limsup_{r\to\infty} q^{-r}M(f, r) < \tau\), alors \(f\in \mathbb Fq(T)[X]\).
Ce théorème a été démontré avec \(\tau= q^{-q/(q-1)} (e \ln q)^{-1}\) par M. Car [J. Number Theory 66, 148–171 (1997; Zbl 0886.11034)]; cette borne a été améliorée en \(q^{-\varepsilon}(e \ln q)^{-1}\) pour \(q\) suffisamment grand par L. Delamette [Acta Arith. 106, No. 2, 159–170 (2003; Zbl 1054.11037)]. Ici l’auteur obtient le théorème avec \(\tau = (e \ln q)^{-1}\) qui est la borne optimale d’après M. Car (opus cit.). Il utilise la technique des séries d’interpolation avec une base du \(\mathbb F_q[T]\)-module des polynômes envoyant \(\mathbb F_q[T]\) dans lui-même qui est mieux adaptée que les bases utilisées par ses prédécesseurs. L’auteur obtient aussi l’analogue du théorème de Gel’fond sur les fonctions entières envoyant dans \(\mathbb Z\) les points d’une progression géométrique, avec, là aussi, la constante optimale.

MSC:

11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
11T55 Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
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