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Die Factorenzerlegung ganzer Functionen und damit zusammenhängende Eliminationsprobleme. (German) JFM 11.0062.01
Herr König liefert nach dem Principe des zweiten Gauss’schen Beweises des Fundamentalsatzes der Algebra einen eleganten Beweis dieses Satzes mit Hülfe algebraischer Identitäten. Bedeuten \(\alpha_1,\alpha_2,\dots\alpha_n\) beliebige Zahlen, so erhält man für die Werthe, welche das Product von je \(r\) deerselben annimmt, eine Gleichung \(\binom nr^{\text{ten}}\) Grades \(F(u)=0\), deren Coefficienten ganze Functionen der elementaren symmetrischen Funcionen sind. Ersetzt man diese letzteren grössen durch die (reellen) Coefficienten der gegebenen Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades \[ x^n+A_1x^{n-1}+\cdots+A_n=0, \] so besteht das Problem, einen reellen Factor \(r^{\text{ten}}\) Grades der linken Seite zu bestimmen, darin, eine reelle Wurzel der Resolvente \(F(u)=0\) zu finden. Dabei ist aber noch vorausgesetzt, dass die Discriminante von \(F(u)\) nicht 0 sei, was sich durch eine lineare Transformation \(x=z+\mu\) in der gegebenen Gleichung stets erreichen lässt. Ist der Grad \(n\) keine Potenz von 2, sondern \(n=2^k\cdot q\), so ist \(\binom nr\) für \(r=2^k\) eine ungrade Zahl un die Aufgabe gelöst. Ist \(n=2^k\), so sind die Zahlen \(\binom nr\), ausgenommen, wenn \(r=2^{k-1}\), durch 4 theilbar. Für \(r=2^{k-1}\) erhält man \(\binom nr=2\nu\), wo \(\nu\) ungrade. Durch die Substitution \[ u+\frac{A_n}u=v \] geht die Resolvente in eine Gleichung \(\nu^{\text{ten}}\) Grades \(\Phi(v)=0\) über, so dass, falls \(A_n<0\), sich auch jetzt ein reeller Werth für \(u\) ergiebt. Ein solcher lässt sich auch finden, wenn \(A_n>0\).

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