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On using geometry to resolve certain questions of means and probabilities. (De l’emploi de la géométrie pour résoudre certaines questions de moyennes et de probabilités.) (French) JFM 11.0164.03

Der Verfasser zeigt in dieser Abhandlung an verschiedenen Aufgaben, dass die Lösung derselben durch die Anwendung der Geometrie wesentlich erleichtert wird. Die von ihm gewählten Beispiele sind:
1) Welches sind die Mittelwerthe aus den zuerst ihrer Grösse nach geordneten drei Seiten der unendlich vielen Dreiecke, deren Seiten nur der Bedingung unterworfen sind, dass sie in den gegebenen Grenzen \(a\) und \(b\) eingeschlossen sind.
Wird die kleinste Seite des Dreiecks mit \(x\), die grösste mit \(z\), die dazwischen liegende mit \(y\) bezeichnet, so gelten die fünf Bedingungsgleichungen \[ x\geqq a,\quad z\geqq b,\quad x\leqq y,\quad y\leqq z,\quad z\geqq x+y. \] Die Gleichheitszeichen bestimmen die Grenzwerthe, welche der Lösung zur Grundlage dienen. \(x, y, z\) werden als rechtwinklige Coordinaten betrachtet und die vorstehenden Gleichungen als die Gleichungen von 5 Ebenen aufgefasst, welche ein Pentaeder ausschneiden, bei dem die Coordinaten des Schwerpunktes dieses Pentaeders, welche sich ohne Schwierigkeit bestimmen lassen, die Lösung der Aufgabe enthalten.
2) Ein Stock von der Länge \(l\) bricht in drei Stücke; welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus den drei Stücken ein Dreieck bilden lässt?
Durch geometrische Betrachtungen findet sich fast unmittelbar die Lösung gleich \(\frac{1}{4}\).
3) Welche Wahrscheinlichkeit hat es, dass alle Wurzeln der Gleichungen \[ \begin{aligned} a)\quad & z^2 + pz + q=0\\ b)\quad & z^3 + pz + q=0\end{aligned} \] reell sind, wenn \(p\) und \(q\) in den Grenzen \(\pm P\) und \(\pm Q\) eingeschlossen sind, und alle Werthe der Coefficiencen \(p\) und \(q\) innerhalb dieser Grenzen gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeiten finden sich leicht durch geometrische Betrachtungen. Sie sind für \[ \begin{aligned} a)\quad & \frac{P^2+12Q}{24Q}\,,\\ b)\quad & \frac{2\sqrt{3}}{45}\cdot \frac{P^{\frac{3}{2}}}{Q}\,.\end{aligned} \] Die Abhandlung enthält ausserdem die analytische Lösung der Aufgabe, den Mittelwerth einer Function mehrerer Variablen zu bestimmen.
Reviewer: Lazarus, (Hamburg)

MSC:

60D05 Geometric probability and stochastic geometry
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Full Text: EuDML Gallica