Direct method for the evaluation of the sum of the \(\alpha\)th powers of the first \(n\) positive integers. (Méthode directe pour calculer la somme des puissances \(\alpha\) des \(n\) premiers nombres entiers.) (French) JFM 11.0178.03

Dostor, G.

Nouv. Ann. (2) XVIII. 459-464, 513-518 (1879).

Der Inhalt dieser drei Abhandlungen (siehe auch JFM 11.0178.01 und JFM 11.0178.02) ist aus den Titeln ersichtlich. Die dritte ist nur eine zusammenfassende Bearbeitung der ersten beiden. Die Summe der \(\alpha^{\text{ten}}\) Potenzen der ersten \(n\) natürlieben Zahlen lässt sich durch die Methode der unbestimmten Coefficienten für jeden ganzzahligen Werth von \(\alpha\) in folgender Weise direct bestimmen, ohne die Formeln für die Summen der niedrigeren Potenzen vorauszusetzen: Es ist \[ \sum^{n}_{1}n^\alpha = A_0 n^{\alpha+1}+ A_1n^\alpha+\cdots A_{\alpha-1}n^2+A_\alpha n=\varphi(n), \]
\[ \sum^{n}_{1}(n-1)^\alpha = \varphi(n)-\frac{1}{1}\;\frac{\partial \varphi}{\partial n}+ \frac{1}{1.2}\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial n^2}- \frac{1}{1.2.3}\;\frac{\partial^3\varphi}{\partial n^3}+\cdots ; \] aber \[ \varSigma n^\alpha-\varSigma(n-1)^\alpha=n^\alpha, \] folglich \[ n^\alpha=\frac{\partial \varphi}{\partial n}-\frac{1}{1.2}\;\frac{\partial^2\varphi}{\partial n^2}+\frac{1}{1.2.3} \;\frac{\partial^3\varphi}{\partial n^3}-\cdots . \] Diese Identität ergiebt die zur Bestimmung der Coefficienten \(A_0, A_1,\dots A_n\) ausreichende Zahl linearer Gleichungen.

Reviewer: Schemmel, Dr. (Berlin)

MSC:

11B68	Bernoulli and Euler numbers and polynomials
15A06	Linear equations (linear algebraic aspects)
40A99	Convergence and divergence of infinite limiting processes

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 2. Besondere Reihen.

Keywords:

sums of powers of consecutive integers

Citations:

JFM 11.0178.01; JFM 11.0178.02