On the Bernoulli numbers. (Sur les nombres de Bernoulli.) (French) JFM 11.0185.01

Gohierre de Longchamps

Ann. de l’Éc. N. (2) VIII, 55-80 (1879).

Der Herr Verfasser leitet die bekannte Entwickelung der Summe \[ S_{x,k} =\sum^{n=x}_{n=1}\,n^k \] nach fallenden Potenzen von \(n\) mit Hülfe einer neuen Methode her, die aus leicht zu beweisenden Identitäten gewonnen wird. Den Ausgangspunkt bildet die Identität \[ S_{x,k+1}=(x + 1) S_{x,k} - (S_{1,k} +\cdots + S_{x,k}), \] welche durch eine besondere Gruppirung der \(k^{\text{ten}}\) Potenzen in die \(x^2\) Fächer eines Quadrates erhalten wird. Mit Hülfe derselben wird nun zunächst gezeigt, dass die Reihe \[ S_{x,k}= A_k x^{k+1}+B_kx^k +(P_{k,1}x^{k-1} + P_{k,2} x^{k- 2}+\cdots + P_{k,l}x^{k-l} +\cdots +P_{k,k-1}x) \] eine ganze Function \((k+1)^{\text{ten}}\) Grades von \(x\) ohne constantes Glied ist, und dass \[ A_k = \frac{1}{k+1}\,,\quad B_k = \frac12,\quad P_{k,1}=\frac{1}{12},\quad P_{k,2} = P_{k,4} = P_{k,6} =\cdots = 0. \] Hierauf wird bewiesen, dass \[ P_{k,1}=\alpha_1\;\frac{k}{12},\quad P_{k,3}=\alpha_2\;\frac{k(k- 1)(k-2)}{12^2},\cdots , \] wo die \(\alpha_1,\alpha_2\dots\) durch die Formel \[ (2i+1)\alpha_i=-\sum^{p=i-1}_{p=1}\;\alpha_p\alpha_{i-p} \] bestimmt werden. Der Uebergang zu den Bernoulli’schen Zahlen geschieht dann durch die Relation \[ \pm B_i=\alpha_i\;\frac{1.2\dots 2i}{12^i}\,. \] Der Herr Verfasser stellt hierauf die Formeln zur Berechnung der \(\alpha_i\) und der \(B_i\) übersichtlich zusammen. Zum Schluss wird durch Vergleichung mit den bisher zur Ermittelung der Bernoulli’schen Zahlen gegebenen Methoden die Einfachheit der hier dargelegten Berechnungsweise veranschaulicht. Es enthält dieser letzte, Abschnitt eine ziemlich ausführliche Uebersicht über die die Bernoulli’schen Zahlen betreffende Literatur.

Reviewer: Müller, F., Dr. (Berlin)

MSC:

11B68	Bernoulli and Euler numbers and polynomials
40A99	Convergence and divergence of infinite limiting processes

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 2. Besondere Reihen.

Keywords:

Bernoulli number; sums of powers of consecutive integers