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On the integral \(\int_0^z z^ne^{ \frac {z^2}2 +zx}dz\). (Sur l’intégrale \(\int_0^z z^ne^{-\frac {z^2}2 +zx}dz\).) (French) JFM 11.0217.01
Die ganzen Functionen \[ \varTheta_n(z,x),\quad U_n(x),\quad V_n(x) \] sind definirt durch die Entwickelung des Integrals \[ \int_0^z z^ne^{-\frac 12 z^2 +zx}dz=-e^{-\frac 12 z^2+zx} \varTheta_n +U_n \int_0 e^{-\frac 12 z^2+zx}dz + V_n, \] und zwar muss sein \(V_n=\varTheta_n(0,x)\). Es ergiebt sich durch Anwendung der derivirtten Gleichung auf \(n\;=\;0,\;1,\;2,\ldots\) \[ U_{n+1}=xU_n+nU_{n-1};\quad \varTheta_{n+1}=z^n+x\varTheta_n+n \varTheta_{n-1}. \] Die \(U\)sind die Coefficienten der Entwickelung \[ e^{\frac 12 z^2+zx}=\sum_{n=0} U_n \frac {z^n}{n!}. \] Hermite hatte in den C. R. LVIII. eine Reihe entwickelt, von der dies ein besonderer Fall ist.
Ferner werden die Relationen hergeleitet: \[ \varTheta_{n+1}=z\varTheta_n+\frac {d\varTheta_n}{dx}+U_n;\quad U_{n+1}=xU_n+ \frac {dU_n}{dx}; \]
\[ V_{n+1}=\frac {dv_n}{dx} + U_n. \] Die \(U_n\) sind ferner, wie Hermite gezeigt, Lösungen der Gleichung \[ y''+xy'-ny=0, \] und ebenso sind die \(H_n=e^{-\frac 12x^2+zx}\varTheta_n\) Lösungen der Gleichung \[ y''+xy'-ny=e^{-\frac 12 x^2+zx} \left(z^{n+1}-zU_n-2\frac {dU_n}{dx} \right) . \] Ferner ergiebt sich die Reihenentwickelung: \[ \varTheta_{n+1}=\sum_{m=0}^{m=n} U_m \sum_{\mu =0}^{\mu =\frac 12 (n-m)} (m+\mu)_{\mu}(n-m-\mu )(n-m-\mu -1)+\dots +(n-m-2\mu -1)z^{n-m-\mu}. \] Indem man \(z=\infty\) setzt, erhält man noch nach einigen Transformationen: \[ \int_{-\infty}^x (x-t)^ne^{-\frac 12 t^2}dt=U_n\int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 t^2}dt+V_ne^{-\frac 12 x^2}. \]
MSC:
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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Full Text: DOI Numdam EuDML