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Supplement to the memoir on discontinuous functions. (Addition au mémoire sur les fonctions discontinues.) (French) JFM 11.0274.03
Der in der erwähnten Abhandlung (siehe F. d. M. VII. 1875. p. 245, JFM 07.0243.02) kurz gefasste Beweis des Satzes, dass die stetige Function \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {\sin [(n+1)!x]}{n!} \] für keinen Werth von \(x\) einen endlichen Differentialquotienten besitze, wird hier ausführlich mitgetheilt. Ausgehend von gewissen Reihen \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {f(a_nb_nx)}{a_n}, \] worin \(a_n,\; b_n\) numerische Functionen von \(n\) bezeichnen, gelangt Herr Darboux nicht blos zu obigen Beispiele einer stetigen Function ohne Differentialquotienten, sondern auch zu folgendem: \[ _n \sum_1^{\infty} \frac {\cos a_nx}{a_n}, \] wenn die positiven Zahlen \(a_n\) der Bedingung genügen \[ \lim_{n=+\infty} \frac {a_1+a_2+\dotsm +a_{n-1}}{a_n} =0. \]

MSC:
42A16 Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series
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Full Text: Numdam EuDML