On a class of non uniform functions. (Sur une classe de fonctions non uniformes.) (French) JFM 11.0286.01

Picard, E.

Bull. S. M. F. VII, 102-104 (1879); C. R. LXXXVIII, 852-855 (1879).

Für eine eindeutige analytische Function \(f(z)\) der complexen Variabeln \(z\), für welche innerhalb eines vom Nullpunkte mit einem Radius \(r<1\) beschriebenen Kreises nur dieser Punkt selbst singulär ist, ergiebt sich die Entwickelung \[ f(z)= _n\sum_0^{\infty} A_n \left( \frac 1{\log z} - \frac 1{2lr} \right) ^n , \] worin \(lr\) den reellen Logarithmus von \(r\) bedeutet. Sie gilt für alle Punkte innerhalb des genannten Kreises, ausgenommen \(z=0\), in der Art, dass bei einem bestimmten \(z\) den verschiedenen Werthen des \(\log\; z\) die verschiedenen Werthe von \(f(z)\) entsprechen. In der zweiten Note wird der Satz angewandt zur Darstellung von \(f(z)\) als Function von \[ q=e^{-\pi .\frac {\kappa '}{\kappa}} , \] indem \(z=k^2\) gesetzt wird und \(k\) den Modul, \(4\kappa ,\; 2\kappa 'i\) die Perioden einer elliptischen Function bezeichnen.

Reviewer: Stolz, Prof. (Innsbruck)

MSC:

30B10

Power series (including lacunary series) in one complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen.

Keywords:

Laurent expansion; essential singularity