Sur la courbe enveloppée par les axes des coniques qui passent par quatre points donnés et sur les axes des surfaces de révolution du second ordre qui passent par cinq points donnés. Sur les lignes spiriques. (French) JFM 11.0403.01

Laguerre

Nouv. Ann. (2) XVIII. 206-218 (1879).

Die Axen der \(\infty^1\) Kegelschnitte, welche durch vier feste Punkte gehen, umhüllen bekanntlich eine Curve \(K\) vierter Ordnung dritten Ranges, deren Doppeltangente die unendlich ferne Gerade ist. Da diese Curve zu ihrer Bestimmung nur 6 Constante, eine Gruppe von 4 gegeben Punkten aber 8 Constante erfordert, so muss es \(\infty^2\) Gruppen von vier Punkten geben, welche eine gegebene Curve \(K\) in der angegebenen Weise erzeugen. Um die Lage dieser Gruppen zu bestimmen, beweist der Verfasser, dass die Enveloppe der Axen der einem gegebenen Viereck \(ABCD\) umschriebenen Kegelschnitte zugleich die Enveloppe der Asymptoten der \(\infty^1\) Kegelschnitte ist, welche dem Viereck \(\alpha\beta\gamma\delta\) das ursprüngliche Viereck \(ABCD\) construiren kann.
Bei der Uebertragung auf den Raum wird sowohl der Complex der \(\infty^3\) Axen untersucht, welche den durch vier gegebene Punkte gehenden Rotationsflächen zweiten Grades, welche durch fünf gegebene Punkte \(A,\;B,\;C,\;D,\;E\) gelegt werden können. Die letztgenannte Congruenz ist zugleich die Congruenz der Asymptoten der \(\infty^2\) cubischen Raumcurven, welche durch die Centra der umbeschriebenen Kugeln der fünf Tetraeder \(ABCD, ABCE, ABDE,\) \(ACDE, BCDE\) gelegt werden können.
Die vom Verfasser bewiesenen Sätze sind specielle Fälle von Sätzen, welche sich auf Curven vierter Ordnung beziehen, die eine Symmetrie-Axe besitzen und die beiden unendlich ferner imaginären Kreispunkte zu Doppelpunkten haben (lignes spiriques).

Reviewer: Schubert, Dr. (Hamburg)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 5. Neuere synthetische Geometrie. A. Ebene Gebilde.