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Die Multiplicität der Schnittpunkte zweier algebraischer Curven. (German) JFM 11.0471.01
Clebsch Ann. XV, 122-160 (1879); Innsbr. Ber. 1879 (1879).
Der Verfasser definirt zunächst die Multiplicität sowohl der endlichen, wie der unendlichen Schnittpunkte zweier algebraischer Curven \(m^{\text{ter}}\) und \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(F(x,y)=0\) und \(G(x,y)=0\), worin \(x,\;y\) beliebige, projective Punktcoordinaten bedeuten. Dabei benutzt er mit Vortheil die Kronecker’sche Resolvente und zeigt, dass bei dieser Definition die als Multiplicität eines Punktes bezeichnete Zahl von dem gewählten Coordinatensysteme unabhängig, also eine geometrische Grösse ist. Der Verfasser stellt sich dann die Aufgabe, die Multiplicität eines endlichen Schnittpunktes \(x_0,\;y_0\) unmittelbar, d. h. ohne \(F=0\) und \(G=0\) zu bestimmen und findet mit Hülfe der von Halphén (Liouville J. (3) II. 89) und Smith (Proc. L. M. S. VI. p. 160) entdeckten charakteristischen Zahlen, dass jene Multiplicität auf folgende Weise bestimmt werden kann. Man stelle alle Wurzeln \(y_s\) der Gleichung \(F=0\) auf, welche für \(lim\;x=x_0\) sich der Grenze \(y_r\) nähern, desgleichen alle Wurzeln \(y'_s\) der Gleichung \(G=0\) von derselben Eigenschaft und entwickele das Product \[ \underset{r,\;s}\varPi'(y_r-y'_s) \] nach steigenden ganzen Potenzen von \(x-x_0\). Dann giebt der Exponent des ersten Glieds dieser Reihe die Multiplicität des ersten Punktes \(x_0y_0\) an. Aus diesem Resultate, welches der Verfasser sehr eingehend beweist, erklärt sich, wieso der Grad der Resultanten von \(F=0,\;G=0\) nach \(x\) oder nach \(y\) grössen sein kann als die Gesammtmultiplicität der endlichen Schnittpunkte, und wieso die Grade dieser beiden Resultaten von einander abweichen können. Schliesslich beschäftigt sich der Verfasser auch mit der Multiplicität der unvollständigen Gleichungen gemeinsamer Werthsysteme, nachdem er den Begriff der \(k^{\text{ten}}\) Ordnung der Unvollständigkeit einer Gleichung in Bezug auf eine der Veränderlichen definirt hat.

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