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On some properties of hypocycloids with 3 cusps. (Sur quelques propriétés de l’hypocycloïde à 3 points de rebroussement.) (French) JFM 11.0521.03
Der Herr Verfasser wendet statt der gewöhnlichen rechtwinkligen Coordinaten \(X,Y\) andere durch die Gleichungen: \[ X+Yi =x \quad\text{ und }\quad X-Yi =y \] definirte an, die er isotrope nennt, da die Gleichungen \(x=\alpha\) und \(y=\beta\), wo \(\alpha\) und \(\beta\) Constanten, die verschiedenen isotropen Geraden der Ebene darstellen, d. h. die durch die Kreispunkte gehenden. Es ist ferner \(e^{ -2Vi}\) der Winkelcoefficient einer Geraden, die mit \(OX\) den Winkel \(V\) bildet; die Gleichung der Geraden \(OX\) wird \(x=y\), und die Gleichung eines Kreises mit dem Radius \(R\) und den Mittelpunktscoordinaten \(\alpha \beta\) in diesem isotropen System wird \[ (x -\alpha)\; (y- \beta) =R^2. \] Wenn nun eine Curve \(n^{\text{ter}}\) Classe gegeben ist, so findet man die Winkelcoeficienten der durch einen Punkt \((x,y)\) an diese Curve gehenden Tangenten aus einer in \(\lambda, \mu\) homogenen Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades: \(U( \lambda, \mu)=0,\) in welcher \(\frac{\mu}{ \lambda}\) den Winkelcoefficienten der von \((x,y)\) ausgehenden Tangente bedeutet, und die Coefficienten des Polynomens \(U\) ganze Functionen von \(x\) und \(y\) sind. Der Herr Verfasser nennt diese Gleichung die gemischte Gleichung der Curve. Zur Hypocycloide mit drei Spitzen übergehend zeigt er, dass ihre gemischte Gleichung die Form: \[ a \lambda^3 +b \lambda^2 \mu +c \lambda \mu^2 + d\mu^3 +\lambda \mu( \lambda y - \mu x)=0 \] hat. Der Ort der Punkte, von denen aus die Curve unter einem rechten Winkel gesehen wird, hat dann die Gleichung: \[ (c-x)\; (b+y) =ad \] und ist daher ein Kreis mit dem Radius \(R\) und den Mittelpunktscoordinaten \(\alpha, \beta,\) wofern: \[ c=\alpha; \;\; b=\beta; \;\; a=Re^{ -\varphi i} \] und \(d=- Re^{ -\varphi i}\). Dadurch wird die gemischte Gleichung der Curve: \[ Re^{ -\varphi i}. \lambda^3 -\beta \lambda^2 \mu +\alpha \lambda \mu^2 -Re^{ \varphi i} \mu^3 +\lambda \mu ( \lambda y- \mu x) =0. \] Es wird hierauf die gemischte Gleichung der verschiedenen Hypocycloiden gesucht, welche die Axe \(OX\) berühren und sie ausserdem in zwei von \(O\) gleichweit abstehenden Punkten schneiden. Bei dieser Betrachtungsweise werden nun zum Theil bekannte Sätze auf’s Neue verificirt, zum Theil neue Sätze hergeleitet.
In einem zweiten Theile werden diese Resultate auf rein geometrische Weise durch stereometrische Betrachtung gewonnen.
MSC:
51N20 Euclidean analytic geometry
14H50 Plane and space curves
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Full Text: DOI Numdam EuDML