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On surfaces whose curvature radii are connected by a relation. (Ueber Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind.) (German) JFM 11.0529.01
Die Krümmungslinien einer Fläche können bekanntlich ohne weiteres angegeben werden, wenn die geodätischen Curven der Centerfläche gefunden sind. Nimmt man nun eine Fläche, deren Krümmungsradien \(\varrho\) und \(\varrho'\) durch eine ganz beliebige Relation verknüpft sind, so ist die Centerfläche nach Weingarten abwickelbar auf eine Rotationsfläche; andererseits hat Bour gelehrt, auf einer Rotationsfläche, deren Krümmungsmass nicht constant ist, die geodätischen Curven zu finden. Daher verlangt die Bestimmung der Krümmungslinien einer Fläche, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind, nur gewisse Quadraturen. Der hier gegebene Beweis dieses Satzes bleibt nicht mehr gültig, wenn die Centerfläche constante Krümmung besitzt. Es ist indess möglich, einen Beweis des betreffenden Satzes zu geben, umfasst. Die bekannte von Weingarten (Borchardt LIX.) herrührende Formel \[ d \xi^2 +d \eta^2 +d \zeta^2 =d \varrho^2 +e^{ 2\int \frac{\displaystyle d \varrho}{ \varrho -\varrho'} } dq^2 \] giebt nämlich durch Auflösung \[ dq =e^{ -\int \frac{ \displaystyle d\varrho}{ \varrho -\varrho'}} \sqrt{ d \xi^2 +d \eta^2 +d \zeta^2 -d \varrho^2} \] und durch Integration, \[ q= \int e^{ -\int \frac{ \displaystyle d\varrho}{ \varrho -\varrho'}} \sqrt{ d \xi^2 +d \eta^2 +d \zeta^2 -d \varrho^2}, \] womit die Gleichung \(q=\)Const. der einen Schaar Krümmungslinien bestimmt ist. Die zweite Schaar wird in entsprechender Weise gefunden.
Ein besonderes Interesse bietet die Anwendung dieser Bestimmung auf den Fall, dass \(\varrho\) und \(\varrho'\) durch die Relation \(\varrho -\varrho'=a= \)Const. verknüpft sind, in welchem Falle die beiden Schalen der Centerfläche, wie Beltrami und Dini bemerkt haben, constante Krümmung besitzen. Bianchi hat nämlich gelehrt, einfach unendlich viele neue Flächen constanter Krümmung zu bestimmen, wenn eine Fläche \(F\) constanter Krümmung mit bekannten geodätischen Curven vorgelegt ist. Nach dem Vorhergehenden ist es nun leicht, auch auf diesen neuen Flächen die geodätischen Curven durch Quadratur zu bestimmen. Daher kann Bianchi’s Operation wiederum auf die neuen Flächen angewandt werden. Indem man in dieser Weise verfährt, findet man successiv \(\infty^{\infty}\) Flächen constanter Krümmung, deren geodätische Curven, Krümmungslinien und Haupttangentencurven ohne weiteres angegeben werden können.
Es giebt eine andere bemerkenswerthe Weise, in welcher man aus einer vorgelegten Fläche constanter Krümmung eine andere derartige Fläche herleiten kann. Bezeichnet man mit \(s\) und \(\sigma\) die Bogenlängen der Haupttangentencurven einer Fläche constanter Krümmung, mit \(\varTheta\) den Winkel zwischen zwei einander schneidenden Haupttangentencurven, so besteht nach einer Bemerkung von Bonnet eine Gleichung der Form \[ \frac{ d^2 \varTheta}{ ds d\sigma} =K. \sin \varTheta \quad (K=\text{Const.}). \] Ist nun \(\varTheta=f (s \sigma)\) eine bekannte Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so ist \[ \varTheta =f \left( ms, \frac{ \sigma}{ m} \right) \quad (m =\text{Const.}) \] eine allgemeine Lösung. In Folge derselben können aus einer vorgelegten Fläche immer \(\infty^1\) neue derartige Flächen hergeleitet werden. Allerdings verlangt die Bestimmung der endlichen Gleichung dieser Flächen die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung, die jedoch auf eine Gleichung erster Ordnung reducirt werden kann. Nimmt man alle in dieser Weise erhaltenen Flächen und construirt die zugehörigen Parallelflächen constanter mittlerer Krümmung, so sind diese Parallelflächen auf einander abwickelbar.

MSC:
53C21 Methods of global Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions
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