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Note relative à deux théorèmes de Lagrange sur le centre de gravité. (French) JFM 11.0630.02
Die beiden Sätze von Lagrange, um welche es sich in dieser Arbeit handelt, sind diejenigen, über welche im vorigen Bande dieses Jahrbuchs p. 600 nach einer Arbeit von Laisant berichtet worden ist (JFM 10.0600.02). Herr Darboux (JFM 11.0630.01) geht von folgendem Satze von Leibniz aus: “Wenn \(n\) an einem System wirkende Kräfte im Gleichgewicht sind, so ist ihr gemeinsamer Angriffspunkt der Schwerpunkt von mit gleichen Massen belegten Punkten an ihren Endpunkten” und gelangt zu folgendem Satze: “Man betrachte \(p\) Punkte \(A_1, \; A_2, \;\ldots A_p\), welche mit positiven oder negativen Coefficienten \(m_1, m_2, \ldots m_p\) versehen sind, deren Summe nicht Null ist. Bezeichnet \(O\) dann einen beliebigen Punkt im Raume, so geht die Resultante der Kräfte \(m_1. \overline{OA}_1, \; m_2. \overline{OA}_2, \; \ldots m_p \overline{OA}_p \) durch einen festen Punkt \(C\) und ist gleich \(M. \overline{OC},\) wo die Summe \(m_1 +m_2 + \cdots m_p\) ist. In dem besonderen Falle, wo die Summe \(M\) Null ist, bleibt die Resultante in Grösse und Richtung unveränderlich, wenn der Punkt \(O\) seine Lage verändert; ist sie für eine specielle Lage des Punktes \(O\) Null, so ist sie es auch für alle übrigen.” Aus diesem Satz ergiebt sich dann leicht der Satz von Lagrange. Herr Darboux beschäftigt sich speciell noch mit dem Falle, wo \(M\lessgtr 0\) ist und gelangt dabei zu folgendem weiteren Satze: “Man betrachte ein System von Punkten, deren Gesammtmasse Null ist, und ersetze eine oder mehrere Gruppen dieser Punkte durch ihre Schwerpunkte, indem man diesen die Gesammtmassen der Punkte giebt, an deren Stelle sie treten. Für jedes System solcher Punkte wird die Summe \(\varSigma \varSigma m_i m_k A_i A_k\) constant, negativ oder null bleiben.”
Die Arbeit des Herrn Jung ist durch die Arbeiten von Laisant und Darboux hervorgerufen. Er gelangt zu einer Reihe von ähnlichen Sätzen, von denen wir den mit B) bezeichneten herausnehmen: “Die Summe der Producte der Massen, combinirt zu je zwei und multiplicirt mit dem Wuadrate ihrer respectiven Entfernung, ist gleich dem Trägheitsmoment des Systems in Bezug auf den Schweerpunkt, multiplicirt mit der Gesammtmasse.” Zum Schluss zeigt Herr Jung den Zusammenhang seiner Untersuchungen mit denen des Herrn Darboux.

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Full Text: DOI Numdam EuDML