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\(q\)-linear functions and algebraic independence. (English) Zbl 1100.11022

Soit \(q\geq 2\) un nombre entier. On dit que \(a\): \({\mathbb N}\to {\mathbb C}\) est \(q\)-linéaire s’il existe \(\alpha \in \mathbb C^{\times}\) tel que \(a(nq + r) =\alpha a(n) + a(r)\) pour \(n \in \mathbb N\) et \(0\leq r < q\). On note alors \(f (z) =\sum_{n\geq 0} a(n) z^n\) sa série génératrice. On dit que \(b\): \(\mathbb Z\to \mathbb C\) est \((-q)\)-linéaire s’il existe \(\beta \in {\mathbb C}^\times\) tel que \(b(-nq + r) =\beta\, b(n) + b(r)\) pour \(n\in \mathbb Z\) et \(0\leq r < q\). On note alors \(g(z) =\sum_{n\geq 1} b(n) z^n\) et \(g^{*} (z) =\sum_{n\geq 1} b(-n) z^n\) ses séries génératrices. Ces fonctions génératrices satisfont des équations fonctionnelles de “type Mahler”. Cela permet aux Auteurs de démontrer des résultats d’indépendance algébrique:
Soient \(f_{ij},g_{ij}\) et \(g_{ij}^{*}\) de telles fonctions génératrices associées aux fonctions \(a_{ij}\) et \(b_{ij}\) \((1\leq i \leq~h, 1\leq j\leq m(i))\). Soient \(A_{ij} = (a_{ij} (1), \dots , a_{ij} (q - 1))\) et \(B_{ij} = (b_{ij} (1), \dots , b_{ij} (q - 1))\in {\mathbb C}^{q-1}\). Alors, sous réserve d’une (petite) hypothése technique, il y a équivalence entre l’indépendance algébrique sur \(\mathbb C(z)\) des fonctions \(f_{ij} , g_{ij} , g_{ij}^{*}\) et l’indépendance linéaire sur \(\mathbb C\) de chacune des \(2h\) familles de vecteurs \(\{A_{ij} ; 1\leq j\leq m(i)\}\) et \(\{B_{ij} ; 1\leq j\leq m(i)\}\) pour \(1\leq i\leq h\). Les Auteurs en déduisent des résultats d’indépendance algébrique de valeurs prises par ces fonctions. Cela généralise un résultat de T. Toshimitsu [Tokyo J. Math. 21, 107–113 (1998; Zbl 0906.11036)] sur le cas particulier \((\alpha = 1)\) des fonctions fortement \(q\)-additives.

MSC:

11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11A63 Radix representation; digital problems

Citations:

Zbl 0906.11036
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References:

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