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On two exponents of approximation related to a real number and its square. (English) Zbl 1115.11036
Für jedes \(\xi\in\mathbb{R}\) sei \(\widehat{\lambda}_2(\xi)\) (bzw. \(\widehat{\omega}_2(\xi)\)) das Supremum aller reellen \(\lambda\) (bzw. \(\omega\)), so daß das Ungleichungssystem \(|x_0|\leq X, |x_0\xi-x_1|\leq X^{-\lambda}, |x_0\xi^2-x_2|\leq X^{-\lambda}\) (bzw. \(|x_0+x_1\xi+x_2\xi^2|\leq X^{-\omega}, |x_1|\leq X, |x_2|\leq X\)) für jedes genügend große \(X\in\mathbb{R}_+\) eine Lösung \((x_0,x_1,x_2)\in\mathbb{Z}^3\setminus\{\underline{0}\}\) besitzt. In Beantwortung einer von Y. Bugeaud und M. Laurent [Ann. Inst. Fourier 55, 773–804 (2005; Zbl 1155.11333)] gestellten Frage zeigt Verf., daß die Exponenten \(\widehat{\lambda}_2(\xi)\) im Intervall \([1/2,(\sqrt{5}-1)/2]\) dicht liegen, wenn \(\xi\) alle reellen Zahlen durchläuft, die nicht algebraisch von einem Grad \(\leq 2\) über \(\mathbb{Q}\) sind. Da für die genannten \(\xi\) die Beziehung \(\widehat{\lambda}_2(\xi)=1-(1/\widehat{\omega}_2(\xi))\) gilt, liegen die zu \(\widehat{\lambda}_2(\xi)\) dualen Exponenten \(\widehat{\omega}_2(\xi))\) im Intervall \([2,(3+\sqrt{5})/2]\) dicht. Die Beweisführung baut auf zwei früheren Arbeiten des Verf. [Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 88, 42–62 (2004; Zbl 1035.11028) bzw. in: Number Theory, CRM Proceedings and Lecture Notes 36, 269–285 (2004; Zbl 1077.11051)] auf.

MSC:
11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
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