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On the height of the Sylvester resultant. (English) Zbl 1116.11046

Si la hauteur des formes résultants peut être bornée, il n’existe que peu de cas où l’on a une expression exacte ou même asymptotique pour cette hauteur. Considérant le résultant \(R(f, g)\) de deux polynômes génériques en une variable dont l’un est degré 2 et l’autre de degré \(n\geq 3\), les auteurs montrent par récurrence une telle formale pour le maximum des valeurs absolues des coefficients, en termes de \(n\). Ils en déduisent l’expression asymptotique \[ H(R(f, g))={\beta\alpha^n\over\sqrt{n\pi}}- O({\alpha^n\over n\sqrt{n}}) \] avec \(\alpha\) la racine positive de \(x^2- x- 1\) et \(\beta\) la racine positive de \(4x^4- 125\).
Lorsque l’un des polynômes est suppose de degré 3 l’expression asymptotique devient \[ H(R(f, g))= {\beta\alpha^n\over n\pi}- O({\alpha^n\over n^2}) \] avec \(\alpha\) la racine réelle de \(x^3- x^2- x- 1\) et \(\beta\) la ravine réelle de \(x^3- 18x^2+ 110x- 242\). La démonstration de ce dernier résultat passe par une réinterprétation de certains coefficients du résultant en termes combinatoires.

MSC:

11G50 Heights
12Y05 Computational aspects of field theory and polynomials (MSC2010)
13P99 Computational aspects and applications of commutative rings

Software:

OEIS; Maple
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Full Text: DOI arXiv Euclid EuDML Link

References:

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