On the Lebesgue measure of the expressible set of certain sequences. (English) Zbl 1131.11048

Nach P. Erdős [J. Math. Sci. 10, 1–7 (1975; Zbl 0372.10023)] heißt eine Folge \(\mathbf{a}:=(a_n)\in\mathbb{R}_+^\mathbb{N}\) irrational, wenn die Menge \(E_\mathbf{a}:=\{\sum_{n\geq 1}(a_nc_n)^{-1}\mid (c_n)\in \mathbb{N}^\mathbb{N}\}\) keine rationalen Zahlen enthält; andernfalls heißt \(\mathbf{a}\) rational. J. Hančl [Acta Arith. 59, 97–104 (1991; Zbl 0701.11005)] hat bewiesen, daß \(\mathbf{a}\) rational ist und daß überdies \(E_\mathbf{a}\) ein Intervall enthält, falls \(\log a_n<(2-\varepsilon)^n\log 2\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) gilt, wobei \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+\) beliebig vorgegeben ist. In der vorliegenden Arbeit geben Verff. Bedingungen an \(\mathbf{a}\) an, die garantieren, daß \(E_\mathbf{a}\) Lebesgue-Maß Null hat. Hierzu wird eine ganze Reihe recht technischer Hilfssätze benötigt. Allgemein scheint die Berechnung des Lebesgue-Maßes von \(E_\mathbf{a}\) keine einfache Aufgabe zu sein.


11J72 Irrationality; linear independence over a field
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[1] Erdös, P., Some problems and results on the irrationality of the sum of infinite series, J. math. sci., 10, 17, (1975)
[2] Hančl, J., Expression of real numbers with the help of infinite series, Acta arith., LIX, 2, 97-104, (1991) · Zbl 0701.11005
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