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Arithmetic of \(p\)-adic Galois representations. (Arithmétique des représentations galoisiennes \(p\)-adiques.) (French) Zbl 1142.11335
Berthelot, Pierre (ed.) et al., Cohomologies \(p\)-adiques et applications arithmétiques (III). Paris: Société Mathématique de France (ISBN 2-85629-118-9/pbk). Astérisque 295, 1-115 (2004).
This article is based on a course given by the author at the Centre Emile Borel in 1997. Author’s summary:
Soient \(K\) un corps \(p\)-adique, \(\overline K\) une clôture algébrique de \(K\), \(C\) le complété de \(\overline K\) pour la topologie \(p\)-adique, \(B_{dR}\) le corps des périodes \(p\)-adiques, \(G_K= {Gal}(\overline K/K)\). On commence par expliquer les calculs de Sen et Tate sur la cohomologie galoisienne continue de \(C\) et de \(GL_h(C)\). On donne ensuite une classification, essentiellement due à Sen, des \(C\)-représentations de \(G_K\) (c’est-à-dire des \(C\)-espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action semi-linéaire et continue de \(G_K\)) puis des \(B_{dR}\)-représentations de \(G_K\). On applique ceci aux représentations \(p\)-adiques de \(G_K\), puis on décrit les principaux faits de la théorie des représentations \(p\)-adiques semi-stables. On termine en prouvant que les seuls endomorphismes \({\mathbb Q}_p\)-linéaires continus \(G_K\)-équivariants de \(C\) sont les homothéties par des éléments de \(K\), puis que, lorsque \(K\) est une extension finie de \({\mathbb Q}_p\), le foncteur d’oubli de la catégorie des \(C\)-représentations de \(G_K\) dans celle des Banach \(p\)-adiques munis d’une action linéaire et continue de \(G_K\) est pleinement fidèle.
For the entire collection see [Zbl 1052.00008].

MSC:
11F80 Galois representations
11F85 \(p\)-adic theory, local fields
11S15 Ramification and extension theory
11S20 Galois theory
11S25 Galois cohomology
13K05 Witt vectors and related rings (MSC2000)
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
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