Resolution of degree \(\leq 6\) algebraic equations by genus two theta constants. (English) Zbl 1162.14031

Zhivkov, Angel

J. Geom. Symmetry Phys. 11, 77-93 (2008).

Nachdem feststand, daß die Auflösung der Gleichung \(n\)-ten Grades durch Wurzelzeichen im allgemeinen nicht über den Grad 4 hinaus möglich ist, mußten transzendente Funktionen für dieses Problem herangezogen werden. Elliptische Modulfunktionen erwiesen sich als geeignet. Eine allgemeine Lösung erfolgte durch H. Umemura in [D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Birkhäuser, Boston (1984; Zbl 0549.14014)], der die Lösungen durch Thetafunktionen darstellte, deren Parameter noch gewissen Relationen genügen mußten. Der Verf. konzentriert sich auf die Gleichung 6. Grades, deren Wurzeln er durch Thetafunktionen zur Siegelschen Modulgruppe zweiten Grades, abhängig von Parametern ohne zusätzliche Relationen, darstellt, mit Spezialisierungen auf die Grade 5, 4 und 3. Ähnliche Formeln sind kürzlich auch von J. Guardia [J. Algebra 253, 112–132 (2002; Zbl 1054.14041)] entwickelt worden. Außerdem wird die Monodromiegruppe der allgemeinen Gleichung 6. Grades bestimmt, die sich als Kongruenzgruppe \(\Gamma(2)\) der symplektischen Gruppe \(Sp_4({\mathbb{F}}_2)\) herausstellt.

Reviewer: Karl-Bernhard Gundlach (Marburg)

MSC:

14K25	Theta functions and abelian varieties
11F46	Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
14C34	Torelli problem
14H45	Special algebraic curves and curves of low genus
14K20	Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
11R32	Galois theory
11F27	Theta series; Weil representation; theta correspondences

Citations:

Zbl 0549.14014; Zbl 1054.14041