Linear independence of values of Tschakaloff series. (English. Russian original) Zbl 1173.11043

Väänänen, K.; Zudilin, V. V.

Russ. Math. Surv. 62, No. 1, 196-198 (2007); translation from Usp. Mat. Nauk 62, No. 1, 197-198 (2007).

Die Verfasser kündigen folgende Ergebnisse über die Tschakaloff-Reihe \(T(z;q):=\sum_{\nu\geq0}q^{-\nu(\nu+1)/2}z^\nu\) an, für die sie mittlerweile in [J. Number Theory 128, No.9, 2549–2558 (2008; Zbl 1173.11044)] einen vollständigen Beweis publiziert haben. Es seien \(q\in\mathbb{Z}, |q|>1\) und \(t_1,\dots,t_\ell\in\mathbb{N}\) paarweise verschieden. 1) Sind \(q\) und \(\alpha\in\mathbb{Q}^\times\) multiplikativ unabhängig, so sind die Zahlen \(1,T(\alpha;q^{t_1}), \dots,T(\alpha;q^{t_\ell})\) über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängig. 2) Sind \(q\) und \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\in\mathbb{Q}^\times\) multiplikativ unabhängig, so sind \(1,T(\alpha_1;q^{t_1}),\dots,T(\alpha_\ell;q^{t_\ell})\) über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängig. Der Beweis von 1) wird hier für \(\ell=2\) skizziert. Es wird darauf hingewiesen, dass \(\mathbb{Q}\) überall durch einen imaginär-quadratischen Zahlkörper ersetzt werden kann, und dass die Beweismethode prinzipiell zu quantitativen Ergebnissen führt.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

11J72	Irrationality; linear independence over a field
11J82	Measures of irrationality and of transcendence

Keywords:

Chakalov series

Citations:

Zbl 1173.11044