On Hilbert modular forms modulo \(p\): explicit ring structure. (English) Zbl 1177.11039

Nagaoka, Shoyu

Rev. Mat. Iberoam. 22, No. 1, 357-368 (2006).

Die Struktur des Ringes der Modulformen zu den Hilbertschen Modulgruppen verschiedener reell-quadratischer Zahlkörper ist seit Jahrzehnten bekannt. Zur klassischen Modulgruppe ist auch die Struktur der Modulformen mod \(p\) durch die Arbeiten von Swinnerton-Dyer seit über 30 Jahren aufgeklärt. Der Verf. nimmt jetzt die Modulformen mod \(p\) (\(p\) Primzahl, \(p>5\), \(p\equiv 3\bmod 4\)) für die Hilbertsche Modulgruppe des Körpers \(\mathbb Q(\sqrt{2})\) in Angriff. Zur Konstruktion der benötigten Modulformen, die auf direktem Wege Schwierigkeiten bereitet, benutzt er Siegelsche Modulformen mod \(p\), die er in einer früheren Arbeit [Math. Z. 235, No. 2, 405–420 (2000; Zbl 0982.11022)] untersucht hat. Aus ihnen gewinnt er über die Einbettung der Hilbertschen Modulgruppe in die Siegelsche Modulgruppe durch Einschränkung die benötigten Modulformen.

Reviewer: Karl-Bernhard Gundlach (Marburg)

MSC:

11F41

Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces

Keywords:

ring of Hilbert modular forms mod p

Citations:

Zbl 0982.11022

References:

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[4]	Goren, E. Z.: Lectures on Hilbert modular varieties and modular forms . CRM Monograph series 14 . American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. · Zbl 0986.11037
[5]	Nagaoka, S.: On the ring of Hilbert modular forms over \(\mathbb Z\). J. Math. Soc. Japan 35 (1983), 589-608. · Zbl 0517.10025
[6]	Nagaoka, S.: On Hilbert modular forms with integral Fourier coefficients. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 56 (1986), 157-168. · Zbl 0623.10018
[7]	Nagaoka, S.: Note on mod \(p\) Siegel modular forms. Math. Z. 235 (2000), 405-420. · Zbl 0982.11022
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