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Das Doppelverhältnis und die absolute Invariante binärer biquadratischer Formen. (German) JFM 12.0087.01

Herr Klein hat in seiner Erlanger Programmschrift 1872 (cf. F. d. M. IV. p. 229, JFM 04.0229.01) darauf hingewiesen, dass die Theorie der binären Formen complexer Variabeln sich mittels der stereographischen Projection deckt mit der reellen räumlich-projectivischen Massgeometrie mit reeller Fundamentalkugel; später (Erlanger Ber. Nov. 1873) hat er an Stelle der Kugel eine reelle, nicht geradlinige Fläche zweiter Ordnung substituirt. Es ist damit die Interpretation der binären complexen Formen auf der Fläche zweiter Ordnung angezeigt, und in diesem Sinne ist die Arbeit des Herrn Verfassers eine Fortsetzung und Ergänzung von zwei früheren: “Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen” (Clebsch Ann. IX.) und “Studien im binären Werthgebiet”, Karlsruhe 1876 (cf. F. d. M. VIII. 1876. p. 60, JFM 08.0060.02).
Da die Fläche nicht geradlinig ist, muss ihre Discriminante negativ sein; darum wird die Bedingung aufgestellt, dass die auf ein eingeschriebenes Coordinatentetraeder bezogene Fläche zweiter Ordnung nicht geradlinig sei, und zwar, wenn \(\varSigma a_{ik} y_iy_k = 0\) ihre Gleichung ist, müssen die drei Producte \(a_{ik} a_{lm}\) gleiches Vorzeichen haben und aus den absoluten Längen \(\sqrt{a_{ik}. a_{lm}}\) muss sich ein reales Dreieck construiren lassen.
Für die sechs Doppelverhältnisse von vier Werthen wird eine bequeme trigonometrische Interpretation gebraucht: Es sind die Quadrate der sechs trigonometrischen Functionen (abgesehen von einigen Vorzeichen). Der zugehörige Winkel kann geometrisch leicht construirt werden. Es erfolgt seine Uebertragung auf die Fläche. Als weitere Beispiele dienen der Modul des elliptischen Integrals und die Jacobi’sche Construction des Additionstheorems der elliptischen Functionen, zum Schluss die absolute Invariante der biquadratischen Form. Als Hülfsform tritt dabei eine cubische binäre Form auf, die, wenn \(a_x^2 = b_x^2 = 0\) die Fläche darstellt und \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\), \(\vartheta\) vier ihrer Punkte, zu Wurzeln die Invarianten \[ a_{\xi} a_{\eta} . b_{\zeta} b_{\vartheta}, \quad a_{\xi} a_{\zeta} . b_{\vartheta}b_{\eta}, \quad a_{\xi} a_{\vartheta}.b_{\eta}b_{\zeta} \] besitzt. Verschwindet deren quadratische Covariante identisch, so liegen die vier Punkte äquianharmonisch; verschwindet ihre Discriminante nebst der der Fläche, so liegen sie harmonisch.
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