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On the reduction of ternary positive quadratic forms and its application to cubic irrationalities. (De la réduction des formes quadratiques ternaires positives et de son application aux irrationnelles du troisième degré.) (French) JFM 12.0145.02

I. Ueber die Reduction der quadratischen Formen. II. Reductionsmethode von Selling. Nach kurzer Besprechung der Arbeiten von Gauss, Seeber, Eisenstein, Dirichlet wird die von Herrn Selling angegebene Methode behandelt. Wir verweisen hinsichtlich derselben auf das Referat F. d. M. VI. 1874, 128-131 (JFM 06.0128.01). Es wird gezeigt, dass die aufgestellten Bedingungen ausreichen, um zu jedergegebenen Form eine einzige reducirte Form festzulegen, falls man von der Anordnung der Coefficienten absieht. Daran schliesst sich der Beweis des Gauss’schen Satzes, dass das Product der drei Minimalwerthe einer Form kleiner als das Doppelte ihrer Determinante ist. III. Untersuchung der Substitutionen, durch welche eine Form reducirt wird. Es handelt sich dabei um die Reduction einer Form, welche aus einer reducirten dadurch entsteht, dass ein, oder dass mehrere Coefficienten durch stetige hinreichend kleine Aenderungen die Bedingungsgrenzen überschreiten, welche die ursprüngliche Form zu einer reducirten machten. Dann lässt sich die Reduction der neuen Form durch die Combination zweier Substitutionen \(S\), \(T\) mit den Coefficienten 0, \(+1\), \(-1\) erreichen, und umgekehrt lässt sich jede Substitution, welche die Reduction leistet, aus \(S\) und \(T\) combiniren; die beiden lassen sich nicht aufeinander zurückführen. IV. Untersuchung der Irrationalitäten dritten Grades. Hermite’sche Methode. A) Gleichungen dritten Grades, bei denen nur eine Wurzel reell ist. Es seien \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) diese Wurzeln, \(\varDelta\) eine positive veränderliche Grösse, \[ f = (x + \alpha y + \alpha^2 z)^2 + 2 \varDelta(x + \beta y + \beta^2 z)(z+ \gamma y + \gamma^2 z) \] mit der Determinante \(D=+A^2 \varDelta^2\), wobei \(-A^2\) die Discriminante der Gleichung dritten Grades ist. Reducirt man \(f\), so erhält man bis auf einen constanten Factor eine Form \[ F = (X + A_1Y+ A_2 Z)^2 + 2 \varDelta P(X + B_1Y + B_2 Z)(X + C_1 Y + C_2 Z), \] in welcher die Coefficienten \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\), \(C_2\) unterhalb gewisser durch \(A^2\) bestimmter Grössen liegen. Lässt man daher \(\varDelta\) beständig wachsen, so durchläuft \(F\) eine Reihe von Formen, bei denen diese Coefficienten sich periodisch wiederholen. Es wird bewiesen, dass die im vorigen Abschnitte besprochenen Substitutionen, durch welche eine durch stetiges Wachsen von \(\varDelta\) aus \(F\) entstandene Form reducirt wird, sich gleichfalls periodisch wiederholen. Es wird dies an den Gleichungen \[ x^3 - 2 = 0, \quad x^3 - 3 = 0, \quad x^3 - 2x -5 =0 \] durchgeführt. B) Gleichungen dritten Grades, deren drei Wurzeln reell sind. Hier wird \[ f = (x + \alpha y + \alpha^2 z)^2 + A(x + \beta y + \beta^2 z)^2 + B(x + \gamma y + \gamma^2 z)^2 \] zu Grunde gelegt; \(A\) und \(B\) durchlaufen die Werthe von 0 bis \(\infty\); die reducirte Form wird bis auf einen constanten Factor \[ F = (X + A_1 Y + A_2 Z)^2 + AP(X + B_1 Y+B_2 Z)^2 + BQ(X+C_1 Y + C_2Z)^2, \] wo für die sechs Coefficienten \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\), \(C_2\) gleichfalls obere Grenzen bestehen; die obigen Schlüsse wiederholen sich; aber wegen der beiden Variabeln \(A\), \(B\) giebt es für die sich wiederholenden Substitutionen doppelte Periodicität. Die Sache lässt sich geometrisch u. A. so darstellen, dass die bei der reducirten Normalform auftretenden sechs Coefficienten, welche in \(A\), \(B\) linear sind, als Linien in der \(A\), \(B\)-Ebene, die Form selbst als Sechseck aufgefasst werden; die Bedingung dafür, dass die Form reducirt sei, ist dann die, dass der Punkt \((A,\) \(B)\) innerhalb des Sechsecks liege. Ueberschreitet \((A,\) \(B)\) eine Seite desselben, so geht er in ein anderes, der neuen Form angehöriges Sechseck über. Die doppelte Periodicität liefert je nach der Art des Fortganges zwei Reihen von unter sich periodischen Sechsecken; die Vereinigung beider Schemata überdeckt die gesammte \(A\), \(B\)-Ebene. Periodisch ist nur die Art des Ueberganges; die einzelnen Polygone sind von einander verschieden. Die Sechsecke können degeneriren. An einigen Beispielen wird die Theorie erläutert. V. Complexe Einheiten, welche aus Irrationalitäten dritten Grades gebildet sind. Mit Hülfe einer reducirten Form und einer complexen Einheit ist eine zweite reducirte Formableitbar; durch zwei reducirte Formen bestimmt sich eine complexe Einheit.

MSC:

11H55 Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)
11E20 General ternary and quaternary quadratic forms; forms of more than two variables
11E12 Quadratic forms over global rings and fields

Citations:

JFM 06.0128.01
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Full Text: Numdam EuDML