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Second memoir on the summation of series. (Second mémoire sur la sommation des séries.) (French) JFM 12.0175.02

Die zu summirenden Reihen haben die Form \[ \sum_n U_n = \sum_n \frac{u_n}{n(n+1) \ldots (n+p-1)}\, x^n, \] wo \(u_n\) das allgemeine Glied einer recurrenten Reihe im eigentlichen Sinne ist. Das Resultat ist vom Verfasser bereits in den C. R. LXXXVII. 973 (S. F. d. M. X. 1878. p. 181, JFM 10.0181.01) mitgetheilt worden. Die Ableitung desselben beruht im Wesentlichen auf der Identität \[ \frac{1}{n(n+1) \ldots (n+p-1)} = \sum_0^{p-1}{}_t \frac{(-1)^t}{(p-1-t)!t!} \cdot \frac{1}{n+t}. \] Um von dem weiteren Gange des Beweises eine Vorstellung zu geben, nehmen wir der Einfachheit wegen an, dass die erzeugende Gleichung für \(u_n\) keine vielfachen Wurzeln habe, so dass \[ u_n = \varSigma c_a a^n, \] wo die Summe sich über alle Wurzeln \(a\) der erzeugenden Gleichung erstreckt. Dann wird in \(U_n\) derjenige Theil, der sich auf eine einzige Wurzel \(a\) bezieht, gleich \[ \sum_{t=0}^{t=p-1} \frac{(-1)^t}{(p-1-t)!t!} \frac{c_a}{a^t x^t} \frac{(ax)^{n+t}}{n+t}. \] Diesen Ausdruck summirt man nun erst über \(n\) und dann nach \(a\), wobei man bemerkt, dass \[ \sum_{n=1}^{n=\infty} \frac{(ax)^{n+t}}{n+t} = - \text{log}(1-ax) - \left( ax+ \frac{a^2 x^2}{2} + \cdots + \frac{a^t x^t}{t} \right). \] Dann ergiebt sich \[ \sum_{n=1}^{n=\infty} U^n =\sum_a \sum_{t=0}^{t=p-1} \frac{(-1)^{t+1}}{(p-1-t)!t!} \frac{a^t x^t}{c_a} \left\{ \text{log} (1-ax) + ax + \frac{a^2 x^2}{2} + \cdots + \frac{a^t x^t}{t} \right\}. \]

MSC:

40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)

Citations:

JFM 10.0181.01
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Full Text: Numdam EuDML