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Note on the polynomial formula. (Notiz zur Polynomialformel.) (Czech) JFM 12.0187.01

Casopis IX, 49 (1880); (Böhmisch).
Hat man das Polynom \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m \] zur \(n^{\text{ten}}\) Potenz zu erheben, also bei ganzzahligem und positivem \(m\), \(n\) \[ y = [f(x)]^2 = \sum_{k=0}^{mn} A_k x^k \] zu bestimmen, so erhält man nach Verwendung des Maclaurin’schen Theorems vorerst Relationen zwischen der Function \(f(x)\) und ihren Ableitungen, aus welchen durch Elimination zunächst \(y^{(k)}\) und dann allgemein \[ y_0^{(k)} = \frac{d^ky}{dx^k}, \quad A_k = \frac{y_0^{(k)}}{k!} \] folgt. Da hier speciell zu gelten hat \[ f^{(k)}_{(0)} = k! a_k, \quad y_0 = a_0^n, \] so erhält man schliesslich \[ A_k = \frac{na_0^{n-k}}{k!} \left| \begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ 1! a_1, & -a_0 & , & 0, & \ldots \\ 2! a_2, & (n-1)a_1 & , & -a_0 & \ldots \\ 3! a_3, & (2n-2)2!a_2 & , & (n-2)a_1 & \ldots \\ . & . & . \\ . & . & . \\ . & . & . \end{matrix} \right| . \]
In einer Anmerkung wird zur Trinomialformel übergegangen, wobei für den Fall, dass \[ f(x) = 1 + \alpha x + \frac{\beta}{2} x^2, \] obige Determinante den Nenner eines Näherungswerthes \(q_k\) in dem eigenthümlichen Kettenbruch \[ \frac{1\hfill}{n \alpha + \textstyle\frac{n\beta\hfill}{(n-1) \alpha + \textstyle\frac{(2n-1)\beta\hfill}(n - 2) \alpha + \textstyle\frac{(3n-3)\beta\hfill}{(n-3)\alpha + \cdots}}} \]
\[ bedeutet, wo für \] u_k = n-k +1,  S_k = \varSigma u_k \[ der Zähler \(a_k = \alpha u_k\), der Nenner \(b_k = \beta S_k\) wird. \par Daraus folgt für die Berechnung von \(A_k\) die bequemere Formel \] A_k = \frac{nq_k}{k!}. \[ \]
Reviewer: Studnička (Prag)

MSC:

12D99 Real and complex fields
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