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Sur la série \(F_3(\alpha \alpha' \beta\beta' \gamma x y)\). (French) JFM 12.0296.02
(Siehe auch JFM 12.0296.01) Es werden vier Reihen \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\), \(F_4\) aufgestellt, welche eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Reihen auf zwei Variable darstellen, und von denen eine jede zwei simultanen linearen partiellen Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung genügt. Die Form dieser Gleichungen ist \[ (1) \quad r = a_1 s + a_2 p + a_3 q + a_4 z, \quad t = b_1s + b_2p + b_3 q + b_4 z, \] wo die \(a\) und \(b\) gewisse Functionen von \(x\) und \(y\) und \(p\), \(q\), \(r\), \(s\), \(t\) die Derivirten erster und zweiter Ordnung von \(z\) sind. Das System (1) bildet nun für sich den Gegenstand einer allgemeinen Untersuchung. In der Voraussetzung, dass \(1 - a_1b_1\) nicht identisch Null ist und die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, im Uebrigen aber die \(a\) und \(b\) beliebige Functionen von \(x\), \(y\) sind, wird für die Lösungen von (1) eine Reihe von Sätzen entwickelt, die den Sätzen des Herrn Fuchs über gewöhnliche Differentialgleichungen analog sind. Als singuläres Werthepaar \((\xi, \eta)\) erscheint hier ein solches, für welches \(1 - a_1b_1\) verschwindet, oder die Coefficienten \(a\), \(b\) nicht in convergente Reihen von der Form \[ \sum_{m = 0\; n=0}^{m=\infty \; n= \infty} A_{m,n} (x-\xi)^m (y-\eta)^n \] entwickelbar sind. Vier Integrale \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\), \(z_4\) von (1), für welche die Determinante \[ D = \varSigma \pm z_1 p_2 q_3 s_4 \] von Null verschieden ist, bilden ein Fundamentalsystem, und jede beliebige Lösung ist eine lineare Function mit constanten Coefficienten der Elemente eines Fundamentalsystems. \(D\) genügt einer Relation von der Form \[ d \log D = Adx + Bdy, \] wo \(A\) und \(B\) in einfacher Weise aus den Coefficienten \(a\), \(b\) zusammengesetzt sind. Für die besonderen Differentialgleichungen, denen die \(F\) genügen, werden die Fundamentalsysteme aufgestellt. Die \(F\) lassen sich ferner durch bestimmte Doppelintegrale ausdrücken, ähnlich den bestimmten einfachen Integralen, durch welche die hypergeometrischen Reihen dargestellt werden. (Vgl. die Arbeit des Herrn Picard, “Sur une extension etc.” auf p. 328.). Daran schliesst sich die Behandlung mehrerer Fragen analog denen, die in der Theorie der hypergeometrischen Reihen auftreten, deren wichtigste Eigenschaften auch für die verallgemeinerten Functionen Geltung haben.

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