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Treatise on entire functions. (Mémoire sur les fonctions entières.) (French) JFM 12.0327.01
Die Resultate dieser Untersuchungen über die ganzen Functionen sind bereits früher in den C. R. LXXXVIII. und LXXXIX. (s. F. d. M. XI. 1879. 267 und 268, siehe JFM 11.0267.01, JFM 11.0267.02, JFM 11.0268.01 und JFM 11.0268.02) mitgetheilt worden. Unter ganzen Functionen einer complexen Veränderlichen \(z\) versteht der Herr Verfasser, mit Herrn Weierstrass, die eindeutigen und in der ganzen Ebene continuirlichen Functionen, die sich also in eine stets convergente, nach wachsenden Potenzen der Verändelichen fortschreitende Reihe entwickeln lassen. In dem ersten Capitel wird gezeigt, dass es nicht mehr als einen endlichen Werth geben kann, den eine ganze Function für einen endlichen Werth der Veränderlichen annehmen kann. Der bei dem Beweise befolgte Gang führt zur Lösung des Problems, einen allgemeinen Ausdruck für eine Function von \(z\) zu finden, die in der ganzen Ebene oder auf einer Kugel nur drei singuläre Punkte hat. Am Schluss des ersten Capitels wird das obige Theorem angewendet, um zu zeigen, dass jede Gleichung \(P(z)=0\), wo \(P(z)\) ein Polynom ist, eine Wurzel hat. Im zweiten Capitel wird das allgemeine Theorem bewiesen, dass es nicht mehr als einen endlichen Werth \(a\) geben kann, für welchen die Gleichung \(G(z)=a\), wo \(G(z)\) eine ganze Function bedeutet, eine endliche Zahl voon Wurzeln hat, wenigstens wenn \(G(z)\) kein Polynom ist. Der Schluss betrifft die Form einer analytischen eindeutigen Function in der Umgebung eines wesentlich singulären Punktes.

MSC:
30D20 Entire functions of one complex variable, general theory
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Full Text: Numdam EuDML