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On a class of polynomes. (Sur une classe de polynômes.) (French) JFM 12.0342.02

Gegenstand der Untersuchung ist eine Reihe von Polynomen in \(x\) \[ A_0,\; A_1,\ldots A_n, \] wo \(A_n\) vom \(n^{\text{ten}}\) Grade ist, und zwei aufeinanderfolgende Glieder durch die Relation \[ \frac {dA_n}{dx}=nA_{n-1} \] verknüpft sind. Die einfachsten Polynome der Art sind \(1,\; x,\; x^2,\ldots x^n\). Den allgemeinsten Ausdruck für dieselbe findet man in folgender Weise: Es sei \[ a(h) =\alpha_0+h\alpha_1+\frac {h^2}{1.2}\alpha_2+\dotsm +\frac {h^n}{1.2\ldots n}\alpha_n +\dotsm \] die erzeugende Function, unter \(\alpha_1,\;\alpha_2,\ldots\) ganz unbestimmte Grössen gedacht, so ist \(A_n\) der Coefficient von \(\frac {h^n}{1.2\ldots n}\) in der Entwickelung von \(a(h)e^{hx}\) nach stetigen Potenzen von \(h\), also \[ a(h)e^{hx}=A_0+A_1h+A_2\frac {h^2}{1.2} +\dotsm +A_n\frac {h^n}{1.2\ldots n} +\dotsm . \] \(a(h)=1\) giebt die einfachsten Polynome \(1,\; x,\ldots x^n\). Unter \((AB)_n\) versteht man das Polynom, das man erhält, wenn man in \(A_nx^k\) durch \(B_k\) ersetzt. Die erzeugende Function der Polynome \((AB)\) ist das Product \(a(h).b(h)\), wenn \(b(h)\) die erzeugende Function der Polynome \(B\) ist. Hiernach ist \(AB)_n=(BA)_n.\; \left( \frac BA \right)_n\) wird durch die Gleichung \(\left( A\cdot \frac BA \right)_n =B_n\) definirt, insbesondere \(\left( \frac 1A \right)_n\) durch die Gleichung \(\left( A\cdot \frac 1A \right)_n =x^n\).
Die weitere Untersuchung betrifft die Herleitung einer linearen Relation zwischen mehreren aufeinanderfolgenden Gliedern in der Reihe der \(A\), sowie einer linearen Differentialgleichung für \(A_n\), wenn die erzeugende Function gegeben ist, ferner die Darstellung einer Function \(F(x)\) in einer Reihe, die nach den Polynomen \(A_n\) fortschreitet. Schliesslich wird der Grenzwerth von \(A_n\) für \(n=\infty\) entwickelt.
Die angewandte Methode lässt sich auf Polynome von mehreren Variablen ausdehnen. So werden die Polynome \(U_{m,n}\) in \(x,\; y\) definirt durch die Gleichung \[ f(h,\; k)e^{x(ah+bk)+y(b'h+c'k)} =\sum \frac {h^mk^n}{m!n!} U_{m,n}, \] wo \(f(h,\; k)\) die erzeugende Function ist, entwickelbar nach ganzen positiven wachsenden Potenzen von \(h\) und \(k\).

MSC:

26C99 Polynomials, rational functions in real analysis
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Full Text: Numdam EuDML