On the transformation of the abelian integrals. (Sur la transformation des intégrales Abéliennes.) (French) JFM 12.0382.02

Elliot

Ann. d. l’Éc. N. (2) IX, 167-187 (1880).

Die Transformation einer Curve \(f(xy)=0\) und der zugehörigen Abel’schen Integrale durch die rationalen, umkehrbaren Substitutionen \[ x_1= \frac{M(xy)}{N(xy)},\quad y_1=\frac{P(xy)}{Q(xy)} \] ist bekanntlich zuerst von Riemann in seiner “Theorie der Abel’schen Functionen ” behandelt. Seine Untersuchung führt zu dem Begriff der mit \(f(xy)=0\) zu derselben Classe gehörigen, algebraischen Gleichungen, zur Aufstellung von Normalformen und zur Bestimmung der von einander unabhängigen Moduln einer Classe. Clebsch und Gordan haben in ihrer Theorie der Abel’schen Functionen diese Untersuchungen algebraisch-geometrisch weiter ausgeführt. Ihre Behandlung ist insofern etwas specieller, als sie den obigen Brüchen denselben Nenner geben, wie es der homogenen Form und der geometrischen Deutung ihrer algebraischen Gleichungen angemessen war. Der Verfasser geht von der obigen Form der Transformation aus und behandelt, im wesentlichen auf algebraischem Wege, im ersten Theil die Bedingungen der eindeutigen Transformation, im zweiten Theil die Ausführung derselben für die Integrale \(1^{\text{ter}}\) Gattung, die bekanntlich in ebensolche Integrale übergehen. An dem Beispiel des elliptischen Integrals wird gezeigt, dass eine nicht umkehrbare Substitution nicht alle Integrale \(1^{\text{ter}}\) Gattung der transformirten Curve geben kann. Den Schluss bildet die Anwendung auf die Jacobi’sche Transformation des elliptischen Integrals und eine analoge Transformation eines ähnlichen Integrals.

Reviewer: Stahl, H., Prof. (Tübingen)

MSC:

14K20	Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
33E05	Elliptic functions and integrals

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen.

Keywords:

abelian integrals; elliptic integrals