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Some applications of Cauchy’s calculus of residues. (Einige Anwendungen der Residuenrechnung von Cauchy.) (German) JFM 12.0392.01

Die erste Anwendung betrifft die \(\varGamma\)-Function. Es ergiebt sich, dass \[ \frac 1{\varGamma (a)}=\frac 1{2\pi i}\int e^zz^{-a}dz, \] wenn \(z\) mit Vermeidung des negativen Arms der reellen Axe von \(-\infty -0i\) bis \(-\infty +0i\) variirt, unter 0 die Grenze einer verschwindenden Positiven verstanden. Im Beweise wird der Weg geradlinig über die Punkte \(+0-0i\) und \(+0+0i\) genommen. In ähnlicher Weise werden einige bekannte Formeln bewiesen, dann die folgende Entwickelung der reciproken Function nach Potenzen des Arguments hergeleitet: \[ \frac {\pi}{\varGamma (a)}=\sin a\pi \int_1^{\infty} e^{-x}x^{-a}dx +\int_0^{\pi} e^{\cos\vartheta}\cos [(1-a)\vartheta +\sin\vartheta ]d\vartheta , \] wo der erste Theil \[ =\sum_{n=0}^{n=\infty} \frac {(-a)^n}{2i\varPi (n)} \int_1^{\infty} e^{-x} [(\log x-\pi i)^n-(\log x+\pi i)^n]dx, \] der zweit \[ =\frac 12 \sum_{n=0}^{n=\infty}\frac {(-ai)^n}{\varPi (n)} \int_{-\pi}^{\pi} \vartheta^n e^{\cos\vartheta +i(\vartheta +\sin\vartheta )} d\vartheta . \] Die zweite Anwendung geschieht auf Mehler’s Kegelfunction \[ {\mathfrak K}^{(\mu )} (x)=\frac 1{\pi} \int_0^{\pi} (x+\cos\varphi\sqrt{x^2-1})^{\frac 12 +\mu i} d\varphi , \] welche hier für reelle \(x\) transformirt wird in \[ {\mathfrak K}^{(\mu )} (\cos\vartheta i)=\frac {\sqrt 2}{\pi} \int_0^{\vartheta} \frac {\cos\mu\alpha d\alpha}{\sqrt{\cos\vartheta i-\cos\alpha i}}, \]
\[ {\mathfrak K}^{(\mu )}(\cos\vartheta )=\frac {\sqrt 2}{\pi} \int_0^{\vartheta} \frac {\cos\mu\alpha id\alpha}{\sqrt{\cos\alpha -\cos\vartheta}}, \] und woraus sich nach Cauchy’s Methode andere von Mehler gefundene Ausdrücke herleiten lassen. Sie wird ferner angewandt auf die Lagrange’sche Interpolation, dann auf die Fourier’sche Reihe in allgemeinerer Auffassung. Die Functioneswerthe \(\sin nx\) sind nämlich ein Beispiel, wo die \(n\) die Wurzeln einer Gleichung \(\sin a\pi =0\) darstellen. Man kann statt des Sinus andere Functionen setzen, derart, dass die Reihe der Argumente als die unendlich vielen Wurzeln einer Gleichung hervorgehen. Nach den Untersuchungen von Sturm und Liouville blieb es noch zweifelhaft, ob andere Functionen den Bedingungen genügten. Durch die Cauchy’sche Methode wird die Möglichkeit für einige Functionen gezeigt. Der erste Fall ergiebt die gewöhnliche Cosinusreihe. Im zweiten wird nach \(\sin\alpha\xi\) entwickelt, wo die \(\alpha\) aus \(\alpha\cos\alpha{\mathfrak r} +h\sin\alpha{\mathfrak r}=0\) hervorgehen; im dritten nach Cylinderfunctionen \({\mathfrak F}_{\nu}(\alpha\xi )\), theils für \({\mathfrak F}_{\nu}(\alpha {\mathfrak r})=0\), theils für \[ \alpha {\mathfrak F}_{\nu}' (\alpha {\mathfrak r})+h{\mathfrak F}_{\nu} (\alpha {\mathfrak r})=0, \] ersteres wenn der Mantel eines Cylinders in der Temperatur 0 erhalten wird, anzuwenden. Die Untersuchung geht von dem Ausdruck \[ \frac {\varTheta (\alpha ,\xi )}{\overline\omega (\alpha )} -S\frac {\varTheta (\lambda ,\xi )}{(\alpha -\lambda )\overline\omega '(\lambda )}= \frac 1{2\pi i} \int \frac {\varTheta (z,\xi )dz}{(z-\alpha )\overline\omega (z)} \] aus, wo \(\theta (\chi ,\xi )\) die Functionen bezeichnet, nach denen entwickelt wird \(\overline\omega (\lambda )=0\) die Gleichung, welche die \(\alpha\) bestimmt und die Complexe \(z\) über einen Kreis von unendlich grossem Radius variirt. Ist das Integral Null, so stellt die linke Seite die Entwickelung dar. Ist die Entwickelung \[ f(\xi )=Sc_{\lambda} \theta (\lambda ,\xi ) \] möglich, so lassen sich die \(c\) nach einem für die Fourier’sche Reihe bekannten analogen Verfahren finden, und man erhält \[ f(\xi )=S\theta (\lambda ,\xi )\frac {\int_0^r f(\xi )\theta (\lambda ,\xi )gd\xi}{\int_0^r (\theta (\lambda ,\xi ))^2gd\xi} , \] falls die Reihe in gleichem Grade convergirt; es giebt alsdann keine andre in gleichem Grade convergente Entwickelung von \(f\) nach den \(\theta\).

MSC:

30E20 Integration, integrals of Cauchy type, integral representations of analytic functions in the complex plane
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Full Text: EuDML