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Studies on cylindrical functions and the expansion of continuous functions into series. (Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en séries.) (French) JFM 12.0400.01
Im ersten Capitel betrachtet der Verfasser eine Reihe von Functionen \[ S_0(x),\quad S_1(x),\quad S_2(x)\ldots S_n(x), \] von welchen nur bekannt ist, dass sie der recurrenten Relation \[ (1)\quad S_{n+1}+2\frac {dS_n}{dx} -S_{n-1}=0, \] \[ (1a)\quad S_1=-\frac {dS_0}{dx} \] genügen. Aus diesen Relationen ergiebt sich \[ S_n=\frac {(-D+\sqrt{D^2+1})^2+(-D-\sqrt{D^2+1})^n}2 S_0, \] wo die Potenzen von \(D\) Symbole für die entsprechenden Differentialquotienten der willkürlich bleibenden Function \(S_0\) sind. Ferner folgt, dass, wenn man eine Function \(f(\alpha +x)\) in eine nach den Functionen \(S_n(x)\) fortschreitende Reihe entwickelt, die Coefficienten solche Functionen von \(\alpha\) sind, die derselben recurrenten Relation 1) genügen. Speciell hervorzuheben sind die Entwickelungen \[ S_0(\alpha +x)=J^0(\alpha )S_0(x)+2\sum_{n=1}^{n=\infty} (-1)^nJ^n(\alpha )S_n(x), \] \[ \frac 1{x-\alpha} =J^0(\alpha )S_0(x)+2\sum_{n=1}^{n=\infty} J^n(\alpha ) S_n(x). \] In beiden Reihen sind die \(J\) die gewöhnlichen Bessel’schen Functionen, in der ersten ist ausserdem \(J_0\) ganz willkürlich, während in der zweiten \(S_0(x)=\frac 1x\) ist, wodurch die \(S_n(x)\) mit den von Herrn C. Neumann eingeführten Functionen \(O^{(n)}\) identisch werden. Die Untersuchung der Convergenz der obigen Entwickelung fehlt gänzlich, und darüber dürfte auf dem vom Verfasser eingeschlagenen Wege wohl nichts zu ermitteln sein [vgl. auch das folgende Referat, JFM 12.0403.01].
Im zweiten Capitel wird die Betrachtung dahin erweitert, dass \(n\) nicht mehr eine ganze Zahl ist. Von den beiden obigen Formeln 1) und 1a) fällt dann naturgemäss die zweite fort, es bleibt nur die erste. Dieser wird genügt durch das Integral \[ (2)\quad S_n=\int_a^b e^{\frac x2 \left( t-\frac 1t \right) } \psi (x) \frac {dt}{t^{n+1}} , \] wo \(\psi\) eine willkürliche Function, \(a\) und \(b\) zwei absolute Constanten sind. Der Verfasser stellt sich dann die Aufgabe, die willkürliche Function \(\psi\) so zu bestimmten, dass die Function \(S_n(x)\) ausser der Bedingung 1) noch der weiteren Recursionsformel \[ (3)\quad nS_n(x)=\frac x2 [S_{n-1}(x)+S_{n+1}(x)] \] genügt. Jede Lösung des Systems 1) und 3) wird als Cylinderfunction bezeichnet. Die allgemeinste Lösung ist, wenn \(n\) keine ganze Zahl, \[ S_n=AJ^n(x)+Be^{-n\pi i}J^{-n} (x), \] wo \(A\) und \(B\) periodische Functionen von \(n\) sind, \(J\) die Bessel’sche Functionen; für ganzzahlige \(n\) wird \[ S_n=AJ^n(x)+BY^n(x). \] Nebenbei ergeben sich aus 2) verschiedene Integraldarstellungen der Bessel’schen Functionen, sowie andre auf diese Functionen bezügliche Formeln, die zum grossen Theil bekannt, zum Theil auch Verallgemeinerungen bekannter Formeln sind. Wir erwähnen die eine Formel \[ (4)\quad J^n(x)=\left( \frac xa \right)^n\cdot\frac 1{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac a2 (k+ri)-\frac {x^2}{2a(k+ri)}} \cdot \frac {dr}{(k+ri)^{n+1}} , \] wobei der reelle Theil von \(n\) positiv sein muss.
Es folgt die Behandlung von unbestimmten Integralen der Form \[ \int \sigma (x). S_{\mu}(\varphi (x)).S_{\nu} (\psi (x))dx, \] und es wird bestimmt, in welchem Falle sich ein solches Integral durch ein Aggregat von Producten je zweier der Functionen \(S_{\mu}(\varphi (x)),\; S_{\mu +1}(\varphi (x)),\; S_{\nu} (\psi (x)),\; S_{\nu +1}(\psi (x))\) ausdrücken lässt. Analoge Aufgaben sind, wenn auch nicht so allgemein, schon von Lommel behandelt (cf. F. d. M. XI. 1880. p. 349, JFM 11.0349.01).
Im vierten Abschnitt werden bestimmte Integrale, die Cylinderfunctionen enthalten, untersucht. Vorzugsweise durch Benutzung des obigen Ausdrucks (4) und Umformung der entstehenden Doppelintegrale wird eine grosse Zahl von Formeln abgeleitet, die sich schon inden Arbeiten von Weber, Hankel und Gegenbauer finden, verschiedene Formeln werden in Zusammenhang gebracht und einige neue sehr allgemeine hinzugefügt. Von diesen mögen die folgenden hier Platz finden: \[ \int_0^{\infty} J^m(qx)e^{-hx^2}x^{m+1} dx =\frac {q^m}{(2h)^{m+1}} e^{-\frac {q^2}{4h}} , \] wobei \(m>-1,\; h\) eine beliebige complexe Grösse mit positivem reellen Theile ist; \[ \begin{split} \int_0^{\infty} J^m(bx) x^{m-1} \frac {J^n(a\sqrt{x^2+z^2})}{(\sqrt{x^2+z^2})^n} dx \\ =\frac {b^m}{a^n} \left( \frac {\sqrt{a^2-b^2}}z \right)^{n-m-1} \cdot J^{n-m-1}(z\sqrt{a^2-b^2})\quad \text{für } a>b, \end{split} \] \[ =0\text{ für } a<b. \] Dabei ist \(n>m>-1,\; a\) und \(b\) reell und positiv. Endlich findet sich noch folgende Darstellung der Bessel’schen Function zweiter Art \(Y^0(k)\): \[ Y^0(k)=-2\int_0^{\infty} J^0(x)\frac {\cos (x+k)}{x+k} dx \] \[ =-2\int_0^{\infty} \frac {J^0(x)dx}{x+k} +2\int_0^{\frac {\pi}2} \sin (k\cos\varphi )d\varphi . \] Weiter folgt die Behandlung der Bessel’schen Differentialgleichung. Es wird gezeigt, wie man durch Benutzung der von Hargreave (Phil. Trans. 1848) aufgestelleten symbolischen Lösung dieser Differentialgleichung, nämlich \[ y=x^n(1+D^2)^{n-\frac 12}\frac {C\sin x+C_1\cos x}x,\quad n>-\frac 12, \] eine Anzahl bekanter Integraldarstellungen der Bessel’schen Functionen erhält. Die Methode ist die, \(\frac {\sin x}x\) oder \(\frac 1x\) durch ein bestimmtes Integral zuszudrücken und das Symbol \((1+D^2)^{n-\frac 12}\) zu entwickeln.
Zum Schluss wird der Inhalt des ersten Abschnitts verallgemeinert. Es wird wieder \(n\) als ganze Zahl angenommen und statt der Recursionsformeln 1) und 1a) werden die allgemeineren \[ S_n(x)=\varphi_n(D).S_0(x),\quad \varphi_0(D)=1 \] gewählt, wobei \(D\) dasselbe Symbol wie oben bezeichnet. Sodann wird gezeigt, wird aus einer Entwickelung von \(e^{\alpha x}\), die nach irgend welchen Polynomen von \(\alpha\) fortschreitet, eine analoge Entwickelung der willkürllichen Function \(S_0(\alpha +x)\) nach denselben Polynomen von \(\alpha\) folgt, wobei die \(S_n(x)\) die Coefficienten der Entwickelung sind. Dies wird angewandt auff einige specielle Fälle, z. B. auf den Fall \(S_0(x)=\frac {J^{\nu}}{x^{\nu}}\) etc. Eine eingehendere Behandlung dieses Gegenstandes behält sich der Verfasser vor.

MSC:
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)
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