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Regular figures in \(n\)-dimensional space. (English) JFM 12.0405.01

Ein \(n\)-dimensionaler Winkel wird von \(n\) Kanten, \(\frac{n(n-1)}{1.2}\) Ebenen, allgemein von \(n^{.k}\) \(k\)-dimensionalen Gebilden begrenzt. Er heisst regulär, wenn alle Grenzgebilde von gleicher Dimensionenzahl congruent sind. Die Zahl seiner Grenzkanten ist im letzteren Falle gleich der Zahl der Ecken eines \((n-1)\)-dimensionalen regulären Gebildes. Hiernach giebt es 5 Arten regulärer vierdimensionaler Winkel. Es ergeben sich hieraus 11 Bildungsweisen regulärer vierdimensionaler Gebilde, indem in jeder Ecke eines solchen 4, 8, 20 Tetraeder, Hexaeder, Dodekaeder, ferner 6 Oktaeder und 12 Ikosaeder zusammenstossen können. Da aber die Zahl der \((n-1)\)-dimensionalen Grenzgebilde, welche in einer Ecke zusammentreffen, kleiner sein muss als die der \((n-1)\)-dimensionalen Gebilde, welche im \((n-1)\)-dimensionalen Raume um einen Punkt herumgelegt werden können, so reducirt sich die Zahl der regulären Gebilde von 11 auf 6. Dieselben werden resp. begrenzt von 5, 16, 600 Tetraedern, 24 Oktaedern, 8 Hexaedern, 120 Dodekaedern. Diese letzteren Zahlen findet der Verfasser empirisch durch Construction der dreidimensionalen Projectionen jener Gebilde. Es werden weiter die Bildungsweisen der regulären 5-dimensionalen Gebilde mitgetheilt und classificirt. In den Räumen mit 5 und mehr Dimensionen existiren nur noch je 3 reguläre Gebilde, begrenzt von \(n+1\), \(2n\) und \(2^n\) Gebilden mit \(n-1\) Dimensionen.

MSC:

51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
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