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Ueber den Fundamentalsatz der projectivischen Geometrie. (German) JFM 12.0448.01
In seiner Geometrie der Lage p. 49 definirt v. Staudt: “Zwei einförmige Grundgebilde sind projectivisch, wenn sie so auf einander bezogen sind, dass jedem harmonischen Gebilde des einen ein harmonisches Gebilde des andern entspricht.” Weiter wird dann pag. 50 der Satz aufgestellt: “Wenn zwei einförmige projectivische Grundgebilde drei Elemente entspreched gemein haben, so haben sie alle ihre Elemente entsprechend gemein.” Herr Klein machte zuerst in Clebsch Ann. VI. 132 (s. F. d. M. V. 1873. p. 272, JFM 05.0272.01) auf eine Lücke in v. Staudt’s Beweisführung des “Fundamentalsatzes” aufmerksam, zu deren Beseitigung ihm Ergänzungen zur Definition nothwendig erschienen. Die Herren Lüroth und Zeuthen zeigten jedoch später in brieflichen Mittheilungen an Herrn Klein, dass diese Zusätze einer Reduction fähig seien. Gelegentlich der Darlegung seiner neuen hierdurch gewonnenen Anschauung Clebsch Ann. VII. 537 hält Herr Klein jedoch an der einen Forderung fest, dass einer Folge von vier Elementen immer eine Folge der entsprechenden Elemente zukomme.
Nun zeigt Herr Darboux, dass auch diese Forderung als Satz aus der Staudt’schen Definition sich ableiten lasse, indem er bemerkt, dass andernfalls die Punkte der ersten Reihe sich stets derart in zwei Paare zerlegenlassen, so dass ein zu beiden harmonisches Punktpaar existirt, welches reell ist, während dieses in der zweiten Reihe imaginär ist. Das darf jedoch nicht sein, weil dann einem reellen Paar ein imaginäres entspräche, und damit ist der Beweis erbracht.
In der ersten Note (JFM 12.0447.01) legt Herr Klein die geschichtliche Entwickelung des Beweises für den Fundamentalsatz dar und bringt am Schlusse den aus brieflichen Mittheilungen entnommenen Darboux’schen Beweis von der Folge.
Die zweite Note (JFM 12.0447.02) enthält diesen Beweis noch einmal in etwas anderer Fassung. Ihm voran geht jedoch ein anderer analytischer. Sind auf zwei in einander liegenden projectivischen Punktreihen drei Punkte mit den Coordinaten \[ 0,1,\infty \] gegeben, welche mit ihren entsprechenden coincidiren, und definirt man die Verwandtschaft durch die Functionalgleichung \[ x'=\varphi (x), \] so hat man zunächst die drei Gleichungen \[ 0=\varphi (0), \quad{} 1=\varphi (1), \quad{} \infty =\varphi (\infty), \] aus denen sich unter Berücksichtigung der projectivischen Eigenschaften die Gleichuug \[ \varphi (x')=x \] ergiebt, welche aussagt, dass jeder Punkt sich silbst entspricht.
Endlich wird, anknüpfend an die Lüroth-Zeuthen’schen Erörterungen, noch ein indirecter Beweis angestrebt, welcher nicht correct und zudem, wie Herr Schur in der dritten Arbeit bemerkt, überflüssig ist, da der Satz von der Folge leicht den directen Beweis liefere. (Verbesserungen von den Herren Küpper und Bobeck theilt übrigens Herr Klein in einer Fussnote der Arbeit des Herrn Schur mit.) Da jedoch die Lüroth-Zeuthen’schen Betrachtungen gewisser Grenzelemente bedürfen und also Irrationalitäten in die Betrachtung einführen, so möchte der Verfasser den Thomae’schen Beweis auf p. 12 von dessen “Ebene geometrische Gebilde erster und zweiter Ordnung etc.” vorziehen. Es ist richtig, wenn der Satz von der Folge vorangeht, dürfen die Thomae’schen Ueberlegungen benutzt werden, wenn auch dessen Definition von der v. Standt’schen abweicht. Schliesslich deutet der Verfasser darauf hin, dass die v. Staudt’sche Definition viel an Natürlichkeit gewinne, wenn man von collinearen Systemen ausgeht, da sie sich dann in Folge von Vierecksconstructionen von selbst einstellt.

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