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Synthetischer Nachweis des Euler’schen Satzes über Krümmungsradien. (German) JFM 12.0473.01
Der Verfasser giebt zuerst eine einfache Construction des Krümmungsradius, der zu einem Kegelschnittpunkte gehört, und darauf eine neue Ableitung der Euler’schen Relation \[ {1\over \varrho_a}={\cos^2(\alpha \sigma)\over \varrho_{\sigma}}+{ \cos^2(\alpha \sigma_1)\over \varrho_{{\sigma}_1}}' \] wo \(\varrho_{\alpha}\) den Krümmungsradius in einem beliebigen Normalschnitt, \(\varrho_{\sigma}\) und \(\varrho_{{\sigma_1}}\) die Hauptkrümmungsradien bedeuten. Es erscheint diese Relation als specieller Fall der Beziehung: \[ {\sin^2(\beta \beta_1)\over \varrho_{\alpha}}={\sin^2(\alpha \beta_1)\over \varrho_{\beta}}+{\sin^2(\alpha \beta)\over {\varrho_{\beta_1}}}, \] welche für Flächen \(2^{\text{ten}}\) Grades bewiesen wird. Hier bedeuten \(\beta\) und \(\beta_1\) zwei Paare entsprechender Strahlen derjenigen in einem Flächenpunkte entstehenden Strahlen-Involution, welche die beiden diesem Punkte angehörigen auf der Fläche liegenden Geraden zu Doppelstrahlen hat; ferner bedeutet \(\alpha\) eine beliebige andere Tangente, und \(\varrho_{\alpha}, \varrho_{\beta}, \varrho_{\beta_1}\) die den Strahlen \(\alpha ,\beta ,\beta_1\) zugehörigen Krümmungsradien. Schliesslich wird gezeigt, weshalb die für Flächen \(2^{\text{ten}}\) Grades bewiesene Euler’sche Relation auf beliebige Flächen übertragbar ist.
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