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Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigkeiten. (German) JFM 12.0570.02

Das Gegenwärtige steht nach Angabe des Verfassers zu den Arbeiten von Lipschitz, welche dasselbe mit enthalten, in dem Verhältnis, dass es die genannte Transformation durch directe Rechnung bewerkstelligt und die Integrationsbedingungen in vollständigerer Form aufstellt. Aus einer \(n\)-fachen Mannigfaltigkeit \(M_n\) wird durch \(n-m\) Coordinantenrelationen eine \(m\)-fache Mannigfaltigkeit ausgeschieden und die Werthe der zweiten partiellen Differentialquotienten nach den \(m\) unabhängig bleibenden Parametern entwickelt, dann durch neue Differentiation eliminirt. Die resultirenden Gleichungen sind die Bedingungen der Integrabilität des so erhaltenen Systems von Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Unter ihnen ist die dem Gauss’schen Ausdruck des Krümmungsmasses entsprechende Relation enthalten. Hier wie im Folgenden ist keine lineare Mannigfaltigkeit zu Grunde gelegt, vielmehr die \(M_n\) als beliebig gekrümmt und die Coordinaten und Abstände als Kürzeste auf \(M_n\) gedacht; dagegen beschränkt sich jetzt die Untersuchung auf \(m=n-1\). Es werden die geodätischen Linien auf \(M_n\), dann die Hauptkrümmungsrichtungen auf \(M_{n-1}\) bestimmt, und es ergiebt sich der Ausdruck der Krümmung eines Normalschnitts, dessen Maxima und Minima Hauptkrümmungen entsprechen. Ferner wird die Bedingung aufgestellt, unter der auf \(M_{n-1}\) sich in allen Richtungen Linien ziehen lassen, die geodätisch auf \(M_n\) sind. Ist sie erfüllt, so enthält die \(M_n\) ein System von \(n\)-fach unendlich vielen \(M_{n-1}\) constanter Krümmung. Ferner wird ein besonderer Fall für constante und ein anderer für variable Krümmung, wo alle Punkte Nabelpunkte sind, dann die nothwendigen Bedingungen, damit eine \(n\)-fach unendliche Schaar geodätischer Linien mit linearen Gleichungen vorhanden sei, gefunden. Weiter wird untersucht, in wieweit die geometrischen Constructionen, die mit dem Begriff der Hauptkrümmungsradien einer Fläche zusammenhängen, ihre Analogie bei den hier betrachteten speciellen Räumen haben. Für den Raum constanten Krümmungsmasses bleibt die Monge’sche Construction der Richtungen der Krümmungslinien giltig und die Längen der geodätischen Normalen, welche den Krümmungslinien entsprechen, constant. Ferner wird gefragt, ob die Abbildung des Normalensystems, auf welche Gauss den Begriff des Krümmungsmasses einer Fläche gründete, bei höheren Mannigfaltigkeiten ihre Analogie fänden. In Betreff der \(M_{n-1}\) von verschwindendem Krümmungsmass, zu der sich nun die Untersuchung wendet, ergiebt dieselbe, dass in jedem Punkte eine ausgezeichnete Richtung existirt, nach welcher die geodätische Linie der \(M_n\) die \(M_{n-1}\) vierpunktig berührt. Ferner ergeben sich die Grössen, welche bei Biegung der \(M_{n-1}\) unverändert bleiben, und manche andere Resultate.

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