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Neue Sätze über das Newton’sche Potential. (German) JFM 12.0715.04
Die vorliegenden beiden Aufsätze (siehe auch JFM 12.0715.03) enthalten nur Auszüge aus noch nicht veröffentlichten Untersuchungen. Sie geben nämlich nur die Resultate dieser Untersuchungen an, nicht aber die zugehörigen Ableitungen und Beweise. Somit erscheint es angemessen, hier nur den leitenden Gedanken hervorzuheben. Ist irgend eine geschlossene Fläche (z. B. eine Kugelfläche oder Ellipsoidfläche) gegeben, so mag das Potential einer auf dieser Fläche ausgebreiteten einfachen Belegung mit \(V\) oder \(\mathfrak V\), andererseits aber das Potential einer auf der Fläche ausgebreiteten Doppelbelegung mit \(W\) oder \({\mathfrak W}\) bezeichnet werden.Gleichzeitig seien \(x, y, z\) die Coordinaten desjenigen variablen Punktes, in Bezug auf welchen diese Potentiale gebildet sind. Die sogenannte Theorie dieser Potentiale \(V\) und \(W\) besteht bekanntlich der Hauptsache nach in der Untersuchung derjenigen Stetigkeit resp. Unstetigkeit, welcher \(V, W\) selber, ferner ihre ersten, zweiten und höheren Ableitungen nach \(x, y, z\) in unmittelbarer Näche der gegebenen Fläche besitzen.
Während man nun bisher die Theorie von \(V\) und die von \(W\) jede einzeln zu behandeln gewohnt war, erwachsen, wie der Verfasser zeigt, wesentliche Vortheile für die Stenge und Einfachheit der Betrachtung dadurch, dass man diese beiden Theorien gleichzeitig behandelt, und die eine der andern dienstbar macht.
Von diesem Gesichtspunkte aus betrachtet, reducirt sich alsdann die Untersuchung der ersten, zweiten und hóheren Ableitungen von \(V, W\) selber. Denn es kann jede solche Ableitung von \(V\) oder \(W,\) d. h. jeder Ausdruck von der Form \[ \frac {\partial^{\alpha + \beta + \gamma} V} {\partial x^\alpha \partial y^\beta \partial z^\gamma} \text{oder} \frac {\partial^{\alpha + \beta + \gamma} W} {\partial x^\alpha \partial y^\beta \partial z^\gamma} \] im Allgemeinen in die Form \({\mathfrak V} + {\mathfrak W}\) gebracht werden, wo \(\mathfrak B\)das Potential einer gewissen auf der gegebenen Fläche ausgebreiteten einfachen Belegung und \(\mathfrak W\)das Potential einer gewissen daselbst ausgebreiteten Doppelbelegung vorstellt. So reducirt sich also die Untersuchung der Stetigkeit resp. Untetigkeit der genannten Ableitungen auf die entsprechende Untersuchung dieser neuen Potentiale \(\mathfrak V\) und \(\mathfrak W\).
Der Verfasser zeigt, wie man den analytischen Ausdruck dieser neuen Potentiale \(\mathfrak V\) und \(\mathfrak W\) wirklich anzugeben im Stande ist, sobald man über die Beschaffenheit des ursprünglichen Potentiales \(V\) resp. \(W\) und über die Zahlen \(\alpha, \beta, \gamma\) speciellere Voraussetzungen eintreten lässt.
Analoge Untersuchungen wie beim Newton’schen Potential im Raume werden beim logarithmischen Potential in der Ebene ausgeführt; wobei aufmerksam gemacht werden mag auf einige sich hier ergebenden Specialsätze. Einer desrlben lautet:
Ist längs einer Kreisperipherie eine Doppelbelegung ausgebreitet, deren Moment längs der Peripherie stetig, oder auch nur abtheilungsweise stetig ist, so wird das Potential \(W\) dieser Doppelbelegung in allen Punkten der Peripherie constant sein.
Nimmt man statt des Kreises eine Ellipse, so erhält man unter gleichen Umständen ein Potential \(W,\) welches sammt all’seinen nach der Bogenlänge \(s\) genommenen Ableitungen \[ \frac {dW} {ds}, \frac {d^2 W} {ds^2}, \frac {d^3 W} {ds^3}, \text{etc. etc.} \] längs der Ellipse stetig ist.
Denkt man sich endlich die Doppelbelegung ausgebreitet auf einer beliebigen geschlossenen Curve, und setzt man wiederum voraus, dass das Moment derselben längs der Curve stetig oder auch nur abtheilungsweise stetig ist, so wird, falls \[ \vartheta \text{und} \frac {d \vartheta} {ds} \text{und} \frac {d^2 \vartheta} {ds^2} \] längs der Curve stetig sind, gleiches auch gelten von \[ W \text{und} \frac {dW} {ds} \text{und} \frac {d^2 W} {ds^2}. \] Dabei bezeichnet \(\vartheta\) das Azimuth der Curventangente gegen eine feste Axe, während selbstverständlich \(W\) das Potential der in Rede stehenden Doppelbelegung vorstellen soll.

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