Remarks on weak approximation over a function field of one variable. (Remarques sur l’approximation faible sur un corps de fonctions d’une variable.) (French. English summary) Zbl 1201.11066

Colliot-Thélène, Jean-Louis; Gille, Philippe

Poonen, Bjorn (ed.) et al., Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties. Proceedings of the workshop on rational and integral points of higher-dimensional varieties, Palo Alto, CA, USA, December 11–20, 2002. Boston, MA: Birkhäuser (ISBN 0-8176-3259-X/hbk). Progress in Mathematics 226, 121-134 (2004).

Introduction: Soit \(C=k\) une courbe projective, lisse, connexe, définie sur un corps algébriquement clos \(k\) de caractéristique nulle. On note \(F = k(C)\) le corps de fonctions de \(C\) et \(F_M\) le complété de \(F\) pour la valuation \(v_M\) définie par un point fermé \(M\) de \(C\).
Soit \(X=F\) une variété lisse géométriquement connexe. L’ensemble des \(F_M\)-points \(X(F_M)\) est muni d’une topologie naturelle [M. Kneser, Centre Belge Rech. Math. Colloque Théor. Groupes Algébr., Bruxelles 1962, 41–52 (1962; Zbl 0171.29102)]. On dit que l’approximation faible vaut pour un ensemble fini \(S\) de points fermés de \(C\) si l’image diagonale de \(X(F)\) dans \(\prod_{M\in S} X(F_M)\) est dense pour la topologie produit. Si c’est le cas pour tout ensemble fini \(S\) de points fermés, on dit que l’approximation faible vaut pour la variété \(X=F\).
Comme l’a rappelé B. Hassett dans son exposé à l’A.I.M. de Palo Alto en décembre 2002, on se demande si toute \(F\)-variété lisse et géométriquement rationnellement connexe satisfait à l’approximation faible. Le seul résultat général connu à ce jour est un théorème de Kollár, Miyaoka et Mori (voir J. Kollár, Rational Curves on Algebraic Varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Bd. 32, Berlin: Springer (1996; Zbl 0877.14012), IV. 6.10), qui ne concerne qu’une version faible de l’approximation, et ce seulement pour les \(M\in C\) où \(X=F\) a bonne réduction.
Dans cette note nous établissons cet énoncé pour les \(F\)-variétés géométriquement rationnellement connexes qui se ramènent par fibrations à des espaces homogènes de groupes linéaires connexes.
Nous montrons par ailleurs que sous la simple hypothèse d’annulation des \(H^i(X;O_X)\) (pour \(i\geq 1\)) il peut y avoir défaut d’approximation faible. Notre exemple est une surface d’Enriques.
L’outil utilisé est une loi de réciprocité et l’existence d’un revêtement non ramifié non trivial sur une telle surface.
On notera que des résultats particuliers sur l’approximation faible ont été obtenus sur des corps de fonctions plus compliqués que ceux considérés ici: corps de fonctions d’une variable sur le corps des réels (J.-L. Colliot-Thélène [J. Reine Angew. Math. 474, 139–167 (1996; Zbl 0847.11017)], C. Scheiderer [Invent. Math. 125, No. 2, 307–365 (1996; Zbl 0857.20024)], A. Ducros [J. Reine Angew. Math. 504, 73–114 (1998; Zbl 0934.14012)]), et corps de fonctions de deux variables sur un corps algébriquement clos (J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille et R. Parimala [Arithmetic of linear algebraic groups over two-dimensional fields, preprint, to appear; see C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I, Math. 333, No. 9, 827–832 (2001; Zbl 1037.20050)]).
For the entire collection see [Zbl 1054.11006].

MSC:

11G35	Varieties over global fields
14G25	Global ground fields in algebraic geometry

Citations:

Zbl 0171.29102; Zbl 0877.14012; Zbl 0847.11017; Zbl 0857.20024; Zbl 0934.14012; Zbl 1037.20050