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Mathematics for the first semesters. 2nd revised ed. (Mathematik für die ersten Semester.) (German) Zbl 1204.00016
München: Oldenbourg Verlag (ISBN 978-3-486-59185-9/pbk). xii, 336 p. (2010).
“Mathematik für die ersten Semester” enthält den Teil der Mathematik, der für ein Studium technischer Fächer ausreicht: etwas elementare Geometrie, lineare Algebra, Infinitesimalrechnung, sowie die Anfangsgründe der Vektoranalysis und der Differentialgleichungen. Die Darstellung geht für ein Buch dieser Art im großen und ganzen in Ordnung, und zahlreichen Übungsaufgaben runden es ab.
Hätte der Autor es dabei belassen, wäre außer einigen größeren und kleineren Fehlern nicht viel zu bemängeln gewesen. Unglücklicherweise setzt der Autor aber seinen Feldzug gegen die moderne Mathematik (dazu zählen die Errungenschaften der letzten 2500 Jahre: die Existenz von Geraden, Kreisen, oder der Primfaktorzerlegung einiger natürlicher Zahlen wird ebenso bestritten wie die von irrationalen Zahlen, man vergleiche sein Preprint arXiv:math/0505649) auch in diesem “Lehrbuch” fort. Das beginnt mit dem unsäglichen Vorwort, in dem den Lesern erklärt wird, dass praktisch alle Sätze, die in diesem Buch bewiesen werden (oder auch nicht), falsch sind; in den Worten des Autors: sie “leiden Ausnahmen”. Das Problem liegt in den Augen des Autors daran, dass z.B. die Funktion \(f(x) = x^2 - 2\) stetig ist und das Vorzeichen wechselt, aber mangels der Existenz von \(\sqrt{2}\) keine Nullstelle hat [vgl. obiges arXiv-Preprint]. Eine solche radikale Einstellung hätte vielleicht das Prädikat “mutig” verdient, wenn sie denn irgendwelche Konsequenzen hätte: die hat sie aber nicht, da der Autor im folgenden versucht so zu tun, als gäbe es die seiner Meinung nach nicht existenten Objekte, und als wären die falschen Sätze richtig.
Diese Schlampigkeit im Großen setzt sich im Kleinen fort: Funktionen \(f: X \to Y\) werden ordentlich erklärt (mit Hilfe der vom Autor abgelehnten Mengenlehre), doch dann erscheint auf S. 20 aus heiterem Himmel folgende Definition: “Sei \(\alpha\) eine reelle Zahl. Eine lineare Abbildung \(f\) ist eine Abbildung mit den Eigenschaften \(f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)\) und \(f(\alpha x) = \alpha f(x)\).” Bei dieser Definition ist so ziemlich alles falsch, was man falsch machen kann: reelle Zahlen wurden noch nicht eingeführt; Definitionsbereich und Bildbereich der Abbildung sind nicht festgelegt, wodurch die Addition \(x_1+x_2\), die der Bilder oder die Multiplikation mit \(\alpha\) keinen Sinn ergibt; und schließlich muss das ganze nicht für ein relles \(\alpha\), sondern für alle gelten. Wer anhand dieser Definition nicht erahnt, was eine lineare Abbildung sein mag, dem wird deren Wesen (“wunderbar anschaulich”, wie der Klappentext verspricht) wie folgt erklärt: “Die Aktion ‘zu jeder Pizza gibt es einen Salat’ ist eine lineare Abbildung der Form \(f(x) = k \cdot x\)”; dagegen ist “zu jeder Bestellung gibt es einen Salat” nicht linear. Auch auf S. 34 wird einer beliebigen Menge \(M\) die Menge \(F(M)\) aller bijektiven linearen Abbildungen \(M \to M\) zugeordnet. Dass lineare Abbildungen etwas mit Vektorräumen zu tun haben könnten, lernt man hier nicht. Kurioserweise werden auf S. 208 eine Abbildung der Form \(f(x)=mx+c\) und auf S. 286 die Funktion \(l(x)=\max\{x,0\}\) linear genannt.
Derartige Qualitätsunterschiede zwischen dem Stoff, den man auch in vergleichbaren Büchern findet und Dingen, die der Autor offenkundig selbst verfasst hat, findet man auch an andern Stellen: die “Definition” der natürlichen Zahlen durch die Axiome auf S. 25 ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der vollständigen Induktion verwechselt (was dem Autor egal sein kann, da die Menge der natürlichen Zahlen in seinem Weltbild erstens endlich ist und zweitens große Lücken hat, folglich sowohl die Existenz eines Nachfolgers wie auch das Axiom der vollständigen Induktion “Ausnahmen leidet”); Division, so lernt man auf S. 30, sei eine Abkürzung für wiederholte Subtraktion; Quadratwurzeln sind auf Seite 37 per definitionem positiv, während man auf S. 40 ohne Kommentar die Gleichung \(\sqrt{1} = -1\) findet. Und wenn man reelle Zahlen schon durch Dedekindschnitte einführt, dann sollte man erstens über die Eindeutigkeit der Schnittzahl ein Wort verlieren und zweitens die Zahl \(\sqrt{2}\) nicht durch die Schnitte \(A = \{a\;|\;a < \sqrt{2}\}\) und \(B = \{b\;|\;b > \sqrt{2}\}\) “definieren”.
Ob in einem Buch dieser Art die Peano-Axiome oder Dedekindsche Schnitte gut aufgehoben sind, darf bezweifelt werden, und dies umso mehr, als der Text an anderen Stellen eklatante Lücken aufweist. So wird weder gesagt, wie \(x^n\) für positive ganze Zahlen definiert ist, noch was Potenzfunktionen mit negativen, rationalen oder reellen Exponenten überhaupt bedeuten (bis auf eine einsame Bemerkung, dass Oresme rationale Hochzahlen wie z.B. \(4^{3/2} = 8\) eingeführt habe). Dennoch wird (auf S. 190 im Falle von \(\sqrt[3]{k}\) ebenso wie bei der Ableitung der Potenzfunktionen \(x^r\) für reelle Exponenten auf S. 209) so getan, als hätten diese Funktionen eine wohldefinierte Bedeutung. Die Exponentialfunktion wird über ihre Potenzreihe definiert, dann aber erklärt, dass man “aus historischen Gründen” für \(\exp(x)\) auch \(e^x\) schreibt; dem Leser wird dabei vorenthalten, dass \(\exp(x) = \exp(1)^x\) dahinter steckt. Erst auf S. 221 folgt dann die Bemerkung, dass man die allgemeine Potenz \(a^x\) für positive \(a\) durch \(a^x = e^{x \ln a}\) auf die Exponentialfunktion zurückführen kann; allerdings ist diese Definition zur Berechnung der Ableitung von \(x^{-1}\) auf S. 210 wenig hilfreich.
Erstaunlich ist auch die Darstellung der Theorie quadratischer Formen \(q\), die durch \(q = a_{11} x^2 + a_{12} xy + a_{21} yx + a_{22} y^2\) definiert werden (dass die \(a_{ij}\) reelle Zahlen und \(x, y\) Variablen sein sollen, muss der Leser erraten). Nachdem dann eine Weile von quadratischen Formen \(q\) die Rede war, taucht plötzlich das Vorzeichen von \(q\) auf, und dann merkt man, dass der Autor unter \(q\) eine reelle Zahl verstanden haben wollte, also nicht Formen \(q\) betrachtet, sondern Kegelschnitte \(q(x,y) = q\).
Da der Autor der Meinung ist, dass Funktionen \(\mathbb N \to \mathbb R\) nicht stetig sein sollten, ersetzt er die übliche Definition der Stetigkeit auf S. 199 durch eine eigene, die sich aber schon bei oberflächlicher Betrachtung als vollkommen sinnfrei herausstellt. Die Integration wird, wie schon im ersten Buch [W. Mückenheim, Die Mathematik des Unendlichen. Berichte aus der Mathematik. Aachen: Shaker Verlag. (2006; Zbl 1195.00004)] des Autors, auf unsinnige Weise erklärt. Dass bei der Begründung von \(\int \frac1x dx = \ln |x| + C\) die Beziehung \(\int_{-a}^a \frac1x dx = 0\) verwendet wird, passt ins Bild.

MSC:
00A35 Methodology of mathematics
97I10 Comprehensive works on analysis education
97H10 Comprehensive works on algebra education
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