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Polynomial interpolation on an order of a number field. (Interpolation polynômiale sur un ordre d’un corps de nombres.) (French) Zbl 1213.11184
Les auteurs établissent (Théorème 1.2) qu’une fonction entière à valeurs complexes de \(m\) variables complexes prenant des valeurs dans un entier de corps de nombres de degré \(n\) sur \(\mathbb Q\) lorsque les arguments parcourent un ordre de ce corps de nombres et qui satisfait de plus des conditions de croissance d’ordre \(n\) est nécessairement un polynôme. Dans le cas d’un corps quadratique \((n=2)\) ils retrouvent un theórème de F. Gramain [Invent. Math. 63, 495–506 (1981; Zbl 0461.10028)], mais avec une estimation moins bonne du type d’approximation (le résultat de Gramain fournit en fait le type optimal).
D’autre part, afin d’éviter un contre-exemple de P. Stäckel [Math. Ann. 46, 513–520 (1895; JFM 26.0426.01)] lorsque \(n>2\) (cas non discret) les auteurs introduisent une condition de croissance de la fonction portant à la fois sur les points complexes de module borné et sur les points de l’ordre du corps de nombres considéré de norme bornée (ces deux conditions se recoupent dans le cas discret \((n=2)\).
L’outil essentiel utilisé dans la preuve de ce résultat est une étude fine de polynômes d’interpolation aux points de l’ordre du corps de nombre considéré de norme bornée (Théorème 1.1 et Proposition 4.1).

MSC:
11R09 Polynomials (irreducibility, etc.)
11J81 Transcendence (general theory)
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
11H06 Lattices and convex bodies (number-theoretic aspects)
30C10 Polynomials and rational functions of one complex variable
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References:
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