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On the consequences of a theorem due to J. Liouville concerning the possibility and impossibility to find effectively particular solutions of the Riccati equation and of linear second order equations. (Sur les conséquences d’un théorème de J. Liouville en matière de possibilité et de l’impossibilité de trouver effectivement des solutions particulières d’équations de Riccati et linéaire du second ordre.) (French) Zbl 1224.34002

Der Autor betrachtet die Riccatische Differentialgleichung \[ y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x),\;a,b,c\in C_X, \] \(a\neq0\) und die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ f(x)u''+g(x)u'+h(x)u=0,\;f,g,h\in C_X,\;f\neq0. \] Das Hauptergebnis dieser Arbeit sind zwei Sätze über die Existenz eines Systems der Funktionen \(a,b,c\) und \(f,g,h\), so dass es unmöglich ist, eine partikuläre Lösung der Gleichungen, in einer elementaren Form, ausgedrückt mittels der Koeffizienten \(a,b,c\) und \(f,g,h\) zu bestimmen.

MSC:

34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations
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