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The notion of motion in more recent geometry and its adaption in teaching elementary geometry. (Der Bewegungsbegriff in der neueren Geometrie und seine Adaption im elementaren Geometrieunterricht.) (German) Zbl 1231.51003

Beiträge zur Mathematik 3. Hamburg: Verlag Dr. Kovač; Köln: Univ. Köln, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät (Diss. 2009) (ISBN 978-3-8300-4992-0/pbk). 553 p. (2010).
Die vorliegenden Untersuchungen wurden als Dissertation verteidigt und nun in Buchform der Öffentlichkeit vorgelegt.
Der Autor geht in mehreren Kapiteln der Genese des Bewegungsbegriffs nach und widmet sich im Abschlusskapitel der Rolle des Bewegungsbegriffs im Geometrieunterricht. Er folgt dabei verschiedenen Entwicklungslinien. Ziel der Untersuchungen ist es, die explizite Einführung des Abbildungsbegriffs in der Geometrie in ihrer historischen Entwicklung nachzuvollziehen und hinsichtlich ihrer Ursachen darzulegen.
Anhand der Arbeiten von L. Euler, M. Charles und Behr eingehend von O. Rodrigues wird erörtert, wie sich aus dem realen Bezug zur Dynamik und enger zur Kinematik eines starren Körpers der mathematische Begriff der Bewegung als spezielle Bijektion in einer Menge von Raumpunkten, seine Beschreibungen und Verknüpfungen entwickelte.
Danach wird dem geometrischen Symmetriebegriff nachgegangen, ausgehend von der Antike mit der Suche und dem Bestreben nach Regelmäßigkeiten, Harmonie und Schönheit. Die weitere Entwicklung führt über den Symmetriebegriff in Kunst und Architektur des 17. und 18. Jahrhunderts (I. Kant, A.-M. Legendre und insbesondere R.-J. Haüy), die Darstellung der sieben Kristallsysteme durch Ch. Weiß, die Weiterentwicklung zu 32 Kristallklassen durch M. Frankenheim und die vollständige und erschöpfende Klassifikation der Kristalle durch F. Ch. Hessel anhand ihrer makroskopischen Symmetrieeigenschaften. (Die Arbeiten von M. Frankenheim und F. Ch. Hessel fanden erst fast 100 Jahre später ihre rechte Würdigung.) Aufgeführt werden Arbeiten von A. Bravais und A. F. Möbius über symmetrische Polyeder, die mit dem Ziel der Auflistung alter endlichen Punktsysteme vorgenommen wurden und die den Symmetriebegriff abstrakt präzisierten, losgelöst von den materiellen Wurzeln.
Unter dem Aspekt der freien Beweglichkeit von Bewegungen werden Arbeiten von W. Bolyai, F. Ueberweg, H. von Helmholtz, G.-J. Hoüel, R. de Paolis und T. Brodén eingehend analysiert. Es wird die Frage aufgegriffen, in welcher Art und Weise die Hilbertsche Axiomatik unter Einbeziehung eines Konzepts der freien Beweglichkeit verändert werden kann.
Explizit wird als weitere Entwicklungslinie der gruppentheoretische Aspekt bei den Bewegungen verfolgt, insbesondere bei den für die Entwicklung der Geometrie so bedeutenden Arbeiten von F. Möbius, F. Klein und H. Wiener. Herausgestellt werden die Bemühungen um eine axiomatische Charakterisierung von Bewegungen durch die Arbeiten von G. Peano, M. Pieri und insbesondere der Beitrag, den hier F. Schur geleistet hat.
Mit den “Grundlagen der Geometrie” [(1899; JFM 30.0424.01)] hatte D. Hilbert eine axiomatische Begründung erzielt, die verschiedene Maßstäbe setzte und bei der der Kongruenzbegriff ein tragender Grundbegriff ist, ohne irgendeinen Bezug zu Bewegungen. Damit war die Frage beantwortet, ob zur Definition der Kongruenz von Figuren das zur Deckung bringen mittels Bewegungen notwendig ist, ein Problem, das sich seit Euklid stellte. Der umgekehrte Weg, Bewegung ohne den Kongruenzbegriff zu definieren, d.h., die Bewegung als Grundbegriff für eine axiomatische Begründung der Geometrie zu verwenden, schien nicht möglich, da man durch die Verbindung der Bewegungen mit mechanischen oder empirischen Aspekten ein Fremdelement für ein derartiges Vorhaben sah. Es ist das Verdienst von F. Schur, mit seinen “Über die Grundlagen der Geometrie” [(1902; JFM 32.0531.03)] die strukturelle Bedeutung der Bewegungen für eine Begründung der Geometrie herauszustellen. Eine Begründung lässt sich insbesondere auf soiche speziellen Bewegungen wie Spiegelungen reduzieren. Man vermisst aus dieser Sicht das grundlegende Buch “Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff” von F. Bachmann in dem Literaturverzeichnis.
Heute ist es Allgemeingut, dass beide Wege vom logischen Standpunkt aus gleichberechtigt sind. Die in diesem Buch vorgestellten Arbeiten stehen neben grundlagentheoretischen oft auch mit fachdidaktischen Fragestellungen in Verbindung. Es ist deshalb naheliegend, dass der Autor auch auf die Rolle des Bewegungsbegriffs für den Geometrieunterricht in historiseher Sicht eingeht. Es gibt eine Fülle von Lehrmaterialien, die aus einer erfolgreichen Verwendung von Bewegungen vor allem als Mittel und Methode im Geometrieunterricht erwachsen sind. Bel dem (in Deutschland) zunehmend eingeschränkten Anteil der Elementargeometrie am heutigen Mathematikuntericht stehen die ehemals erhofften Bildungszuwächse durch die Einbeziehungen von Bewegungen wohl nicht mehr zur Diskussion.
In dem umfangreichen Buch (von über 550 Seiten) wird eine Fülle von Originalliteratur recherchiert; dabei wird auch eine Reihe von wenig bekannten Arbeiten einbezogen. Eine Bereicherung sind auch die als Anhang aufgeführten Anmerkungen (ca. 150 Seiten).

MSC:

51-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to geometry
51A05 General theory of linear incidence geometry and projective geometries
97G50 Transformation geometry (educational aspects)
51-03 History of geometry
51F99 Metric geometry
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