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On the non-quadraticity of values of the \(q\)-exponential function and related \(q\)-series. (English) Zbl 1232.11080
Verff. untersuchen die bei festen \(q,\lambda\in\mathbb{C}\) mit \(|q|>1\) und \(\lambda\notin q^{\mathbb{N}}\) ganze transzendente Funktion \(F_q(z;\lambda):=\sum_{n=0}^\infty z^n/\prod_{\nu=1}^n(q^\nu-\lambda)\) arithmetisch. Damit führen sie ein Programm fort, das in den Spezialfällen \(\lambda=0\) bzw. \(\lambda=1\) der Tschakaloff- bzw. \(q\)-Exponentialfunktion bereits eine reiche Historie hat. Die beiden Hauptresultate der Verff. lauten wie folgt.
Satz 1. Mit \(\rho,\sigma\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, |\rho|>|\sigma|\) sei \(q:=\rho/\sigma\) und \(\gamma:=(\log|\rho|)/(\log|\sigma|)\); weiter mögen \(\alpha,\lambda\in\mathbb{C}\) den Bedingungen \(\alpha\neq0,\lambda\notin q^{\mathbb{N}}\) und \(\alpha\notin-\lambda q^{\mathbb{N}}\) genügen. Ist dann \(\gamma>3.2769...\) im Fall \(\lambda=0\) bzw. \(\gamma>9.4319...\) im Fall \(\lambda\neq0\), so können \(\alpha,\lambda\) und \(F_q(\alpha;\lambda)\) nicht gleichzeitig einem und demselben quadratischen Zahlkörper angehören, insbesondere ist \(F_q(\alpha;\lambda)\) bei \(\alpha,\lambda \in\mathbb{Q}\) nicht algebraisch von einem Grad \(\leq2\). Für \(\lambda\neq0\) ist das Ergebnis neu; bei \(\lambda=0\) wird das entsprechende Resultat von R. Choulet [Collect. Math. 52, 1–20 (2001; Zbl 1159.11316)] mit \(\gamma>14/3\) erheblich verschärft.
Satz 2. Unter den Voraussetzungen von Satz 1 gelte \(\gamma>1.5323...\) bei \(\lambda=0\) bzw. \(\gamma>1.8082...\) bei \(\lambda\neq0\); dann sind \(\alpha,\lambda,F_q(\alpha,\lambda)\) nicht alle rational. Hierdurch werden Ergebnisse von T. Stihl [Arch. Math. 41, 531–537 (1983; Zbl 0508.10021)] verschärft.
Für ihre Beweise verallgemeinern Verff. eine Methode von J.-P. Bézivin [Math. Nachr. 190, 31–42 (1998; Zbl 0942.11035)]; sie verwenden einen direkteren Zugang als den \(p\)-adischen nach Bézivin bzw. Choulet [loc.cit.].

MSC:
11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11C20 Matrices, determinants in number theory
15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions
33D15 Basic hypergeometric functions in one variable, \({}_r\phi_s\)
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