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Gauss sums and theta series. (Sommes de Gauss et séries thêta.) (French) Zbl 1253.11054

Cauchy hat zuerst bemerkt, dass der Wert der Thetareihe \(\theta(t):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2t}\) bei Annäherung an einen Randpunkt \(t\in i\mathbb{Q}\) ihres Konvergenzgebiets \(\operatorname{Re}(t)>0\) gleich dem ist, was man heute als (quadratische) Gaußsche Summe bezeichnet. Kronecker hat später gezeigt, dass die Modularität \((\ast)\!\!: \theta(t^{-1})=t^{1/2}\theta(t)\) von \(\theta\) die Reziprozitätsformel für Gaußsche Summen impliziert, die ihrerseits mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz äquivalent ist.
Verf. präsentiert hier einige dieser klassischen Resultate von Gauß, Cauchy und Kronecker mit deren Zusammenhängen. Zunächst beweist er nach dem Vorgehen von [C. L. Siegel, Gesammelte Abhandlungen. Band I–III. Herausgegeben von K. Chandrasekharan und H. Maass. Berlin etc.: Springer-Verlag (1966; Zbl 0143.00101), 275–310] die Reziprozitätsformel für Gauß-Summen, indem er die Residuenformel auf das Kroneckersche Integral \(\int_Ce((\tau/2)u^2+Xu)/(e(u)-1)du\) anwendet, wobei \(C\) die Gerade \((1/2)+\mathbb{R}e^{\pi i/4}\) bedeutet, \(e(z):=e^{2\pi iz}\) gesetzt ist und \(X,\tau\) komplexe Parameter mit \(\operatorname{Re}(\tau)>0\) sind. Aus dieser Reziprozitätsformel wird dann das quadratischen Reziprozitätsgesetz abgeleitet.
Um \((\ast)\) zu beweisen, wählt Verf. den Cauchyschen Weg über die Residuenformel. Danach erhält er (Kronecker folgend) die Gaußschen Summen als Grenzwerte von \(\theta(t)\) und leitet daraus deren Reziprozitätsformel ab.
Der letzte Abschnitt ist mehr algebraischer Natur. Nach der Vorgehensweise von Gauß wird hier eine Produktdarstellung der Gauß-Summen und daraus deren Vorzeichen hergeleitet. Durch Grenzübergang erhält man schließlich die Produktentwicklung einer Thetareihe.

MSC:

11F27 Theta series; Weil representation; theta correspondences
11A15 Power residues, reciprocity
11L05 Gauss and Kloosterman sums; generalizations

Citations:

Zbl 0143.00101
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References:

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[7] Siegel (C.-L.).— Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, 2 (1932), p. 45-80 — Gesammelte Abhandlungen, t. I, 266.
[8] Weil (A.).— Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer (1976). · Zbl 0318.33004
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